Ausfallwahrscheinlichkeit

Eine Struktur versagt, wenn sie einer Last ausgesetzt wird, die größer ist als ihr eigener Widerstand:

failure := load > resistance

Wir können davon ausgehen, dass die Last und der Widerstand unabhängig sind.

Ist es richtig zu sagen, dass mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (pdf) und kumulativen Dichtefunktionen (cdf) der Last und des Widerstands die Ausfallwahrscheinlichkeit berechnet werden kann durch: ?

p_{f a i l u r e} = \int_{- \infty}^{\infty} P D F_{l o a d} * C D F_{r e s i s t a n c e}

$p_{failure} = \int_{-\infty}^\infty PDF_{load} * CDF_{resistance}$

Ich versuche, mir Statistik beizubringen, aber manchmal ist es ohne eine gute Referenz schwierig zu wissen, wonach ich suchen soll. Wie würde dieses "Werkzeug" übrigens heißen? Ich bin sicher, es gibt einen richtigen Namen dafür.

— Raf
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Die beiden unten von Dilip Sarwate und SeanEaster vorgeschlagenen Methoden wurden getestet und verglichen. Implementiert mit Python Scipy. Die Ergebnisse stimmen perfekt überein. In Bezug auf die Rechenressourcen gibt es einen großen Unterschied: Die Ausführung der Faltungsmethode dauert etwa 70-mal länger.

— Raf

Ich hätte erwähnen sollen, dass dies langsam sein wird, wenn Sie die Faltung numerisch lösen - bearbeitet, um sie zu reflektieren.

— Sean Easter

Antworten:

Es sei bezeichnen den Widerstand und die Last. Dann ist die Formel, nach der Sie fragen, ohne sich um Windungen, Kreuzkorrelationen, komplexe Zahlen und dergleichen kümmern zu müssen wie in Sean Easter ' $X$ $Y$

\begin{aligned} P {Y > X} & = \int_{y = - \infty}^{\infty} \int_{x = - \infty}^{y} f_{X, Y} (x, y) d x d y \\ = \int_{y = - \infty}^{\infty} \int_{x = - \infty}^{y} f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y & because X and Y are independent \\ = \int_{y = - \infty}^{\infty} f_{Y} (y) [\int_{x = - \infty}^{y} f_{X} (x) d x] d y \\ = \int_{y = - \infty}^{\infty} f_{Y} (y) F_{X} (y) d y \\ that is, p_{f a i l u r e} & = \int_{- \infty}^{\infty} P D F_{l o a d} \times C D F_{r e s i s t a n c e} \end{aligned}

$\begin{align} P\{Y > X\} &= \int_{y=-\infty}^\infty \int_{x=-\infty}^y f_{X,Y}(x,y) \,\mathrm dx \,\mathrm dy\\ &= \int_{y=-\infty}^\infty \int_{x=-\infty}^y f_{X}(x)f_{Y}(y) \,\mathrm dx \,\mathrm dy & \scriptstyle{\text{because}~X~\text{and} ~Y~\text{are independent}}\\ &= \int_{y=-\infty}^\infty f_{Y}(y)\left[ \int_{x=-\infty}^y f_{X}(x) \,\mathrm dx\right] \,\mathrm dy\\ &= \int_{y=-\infty}^\infty f_{Y}(y)F_{X}(y) \,\mathrm dy\\ \text{that is}, \qquad p_{failure} &= \int_{-\infty}^\infty PDF_{load} \times CDF_{resistance} \end{align}$

In der Praxis nehmen und wahrscheinlich nur nichtnegative Werte an. In diesem Fall muss sich das obige Integral nur auf der positiven reellen Linie befinden. $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
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Nett. Genau so habe ich diese Gleichung abgeleitet. Ich war mir jedoch nicht sicher, ob es richtig war oder ob es eine strengere Methode gab. Faltungen und Kreuzkorrelationen entziehen sich immer noch meinem Verständnis. In Bezug auf die Domäne setze ich tatsächlich einen Schwellenwert und integriere nur über die nicht zu vernachlässigenden Dichten.

— Raf

Ganz nett! Füge das meiner Trickkiste hinzu +1

— Sean Easter

Umformuliert entspricht die Ausfallwahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeit, resistance - loaddie kleiner als Null ist. Was Sie suchen, ist die Verteilung der Differenz der Zufallsvariablen.

Da diese unabhängig sind, können Sie die Faltung verwenden, um ihren Unterschied zu beheben. Aber es wird auf die Dichten angewendet, nicht auf eine kumulative Dichte. Auch die Faltung ist selbst ein unendliches Integral. Lassen repräsentieren Last, Widerstand. Sie möchten und , die als Kreuzkorrelation in der Signalverarbeitung bezeichnet werden: $X$ $Y$ $p_{X}(-t)$ $p_{Y}(t)$

p_{Y - X} (τ) = p_{x} (- τ) * p_{Y} (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} p_{X} (t) p_{Y} (τ + t) d t

$p_{Y-X}(\tau) = p_x(-\tau) \ast p_Y(\tau)= \int_{-\infty}^{\infty}p_{X}(t)p_{Y}(\tau + t)dt$

Streng genommen entspricht die Kreuzkorrelation der Faltung von und , wobei das Sternchen das komplexe Konjugat ist. Da die Dichten reelle , ist und es besteht kein zur Sorge. $p_X^*(-\tau)$ $p_Y(\tau)$ $p_X^*(-\tau) = p_X(-\tau)$

Die Ausfallwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Differenz kleiner als Null ist, die Sie durch Integrieren der Dichte der Differenzen bis zu Null ermitteln können: . (Dh die CDF des Unterschieds.) Sie können dies alles numerisch tun, aber je mehr Sie analytisch tun können, desto effizienter wird es sein. $\int_{-\infty}^0p_{Y-X}(\tau)d\tau$

— Sean Easter
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Wie Sie bemerkt haben, ergibt diese Faltung die Dichtefunktion. Daraus kann ich nicht erkennen, wie man den erhält , der ein realer Wert ist, da sowohl Last als auch Widerstand eine feste Verteilung sind.

p_{f a i l u r e}

$p_{failure}$

— Raf

Ah, mir ist klar, dass ich den letzten Schritt ausgelassen habe: Integriere die Dichte bis zu 0.

— Sean Easter

Wenn Sie die Zeit finden, Ihre Antwort zu aktualisieren, um diesen letzten Schritt einzuschließen, erhalten Sie von mir eine +1.

— Silverfish

@ Silverfish So bearbeitet, jetzt, da mein Schreibtisch kein provisorisches Erntedankfest mehr ist und mein Desktop wieder einen Platz zum Sitzen hat :)

— Sean Easter

Vielleicht , wenn Sie feststellen , dass nur im Argument tritt , so dass die Integration WRT , dass Sie endet Ersatz vorschlagen durch die CDF von bei ausgewertet , werden Sie an der gleichen Stelle am Ende , dass meine Antwort hat.

τ

$\tau$

p_{Y}

$p_Y$

τ

$\tau$

p_{Y}

$p_Y$

Y

$Y$

t

$t$

— Dilip Sarwate