Welche Beziehung besteht zwischen Ereignis und Zufallsvariable?

Mir wurde gesagt, dass ein Ereignis nur eine Zufallsvariable ist, die zugewiesen wurde, und dass Zufallsvariablen eine Verallgemeinerung von Ereignissen sind. Ich kann dies jedoch nicht mit der Definition eines Ereignisses als Teilmenge des Probenraums in Verbindung bringen . Darüber hinaus kann ein Ereignis entweder eintreten oder nicht, während eine Zufallsvariable mehrere Ergebnisse haben kann.

Sind Ereignisse wie binäre Zufallsvariablen? Wenn ja, ist dann jedes Ergebnis einer Zufallsvariablen wirklich ein Ereignis?

Ich muss auch wissen, wie sich die beiden Konzepte in Bezug auf die bedingte Unabhängigkeit zueinander verhalten.

— Stochastisch
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Antworten:

Das Experiment sei gegeben durch wobei ist der Probenraum, ist die Menge aller Ereignisse (Teilmengen von denen wir eine Wahrscheinlichkeit zuweisen) und ist das Wahrscheinlichkeitsmaß. Punkte von werden als bezeichnet und sind die "Elementarereignisse" (oder "Ergebnisse"). Zufällige Variablen in diesem Experiment sind Funktionen und werden wie , was bedeutet, dass ihr Wert durch das elementare Ergebnis . $\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} (\mathbb{X},\mathbb{B}, \P)$ $\mathbb{X}$ $\mathbb{B}$ $\mathbb{X}$ $\P$ $\mathbb{X}$ $\omega$ $f \colon \mathbb{X}\mapsto \mathbb{R}$ $f(\omega)$ $\omega$

Dem Ereignis die Indikator-Zufallsvariable In diesem Sinne können Ereignisse als Teilmenge der Menge aller für diesen Versuchsaufbau definierten Zufallsvariablen eingebettet werden . Dann kann die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von als Erwartung $A$

I_{A} (ω) = {\begin{cases} 1 if A occurs, that is, ω \in A . \\ 0 if A do not occur, that is ω \notin A . \end{cases}

$I_A(\omega) = \begin{cases} 1 ~\text{if $A$ occurs, that is, $\omega\in A$.} \\ 0 ~\text{if $A$ do not occur, that is $\omega \not\in A$.} \end{cases}$

A

$A$

P (A) = E I_{A} .

$\P(A) = \E I_A.$

Zur zusätzlichen Frage in den Kommentaren: Wenn und unabhängig sind (als Ereignisse), sind und unabhängig (als Zufallsvariablen). "Können wir sagen, dass I_A = 1 und I_B = 1 unabhängig sind?" Nun, ist einfach das Ereignis , also denke ich, dass Sie jetzt antworten können! $A$ $B$ $I_A$ $I_B$ $I_A=1$ $A$

— kjetil b halvorsen
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Danke, aber ich verstehe es immer noch nicht. Was bedeutet das Omega? Und das führt mich zu der Frage: Wenn zwei Ereignisse A und B unabhängig sind, sagen wir dann, dass I_A und I_B unabhängig sind? Noch wichtiger ist, können wir sagen, dass I_A = 1 und I_B = 1 unabhängig sind?

— Stochastic

Gute Antwort, aber ich würde den Begriff "Elementarereignisse" nicht verwenden, da sie möglicherweise nicht zu . Der übliche Begriff ist "Ergebnisse".

B

$\mathbb B$

— Neil G

Es ist nur die Unabhängigkeit von Ereignissen. ist ein Ereignis und so weiter.

I_{A} = i

$I_A=i$

— kjetil b halvorsen

+1 Schön! Überprüfen Sie Ihren Satz "Ereignisse können als Teilmenge als Menge aller für diesen Versuchsaufbau definierten Zufallsvariablen eingebettet werden". Auch ein paar Latexausdrücke kamen am Ende nicht durch.

— Antoni Parellada

@drozzy: ist ein Ereignis ist die entsprechende Indikator-Zufallsvariable, definiert durch wenn und andernfalls null. " tritt auf" bedeutet, dass das Ergebnis , so dass .

A

$A$

I_{A}

$I_A$

I_{A} (ω) = 1

$I_A(\omega)=1$

ω \in A

$\omega \in A$

A

$A$

ω \in A

$\omega \in A$

I_{A} = 1

$I_A=1$

— kjetil b halvorsen

Ja, Ereignisse sind wie boolesche (Sie sagten binär, aber ich nehme an, das ist es, was Sie meinen) Zufallsvariablen oder genauer gesagt, für jedes Ereignis gibt es eine entsprechende boolesche Zufallsvariable. Verschiedene Communities verwenden für dieselbe Sache eine leicht unterschiedliche Terminologie (Indikatorfunktion, charakteristische Funktion, Prädikat), und der Ausgabetyp kann oder . $\{0,1\}$ $\{False, True\}$

Sie haben den Punkt angesprochen:

Ein Ereignis kann eintreten oder nicht, während eine Zufallsvariable mehrere Ergebnisse haben kann.

Ich denke, Wahrscheinlichkeitstexte reichen oft nicht aus, um zu beschreiben, warum die Wahrscheinlichkeitsaxiome so sind, wie sie sind, also werde ich es mit der Hand winken lassen:

Angenommen, Sie haben die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie erfunden. Ihr erster Versuch könnte sein, zu sagen, dass es eine Reihe von Möglichkeiten gibt, wie die Welt sein könnte: und eine Art Funktion, die jeder dieser Möglichkeiten Wahrscheinlichkeiten zuweist . Zum Beispiel könnten wir sagen, dass die Menge der Zahlen 1 bis 6 aus einem Würfelwurf ist und . $X$ $f: X \to [0,1]$ $X$ $f(x) = 1/6$

Bald würden Sie dies als etwas einschränkend empfinden, da Sie über Teilmengen möglicher Welten sprechen möchten, dh was ist, wenn der Würfelwurf größer als 3 ist. Sie passen also Ihre Theorie an und weisen stattdessen Mengen Wahrscheinlichkeiten) zu wobei die Menge aller Teilmengen bezeichnet. Jede dieser Untergruppen, die Sie als Ereignis bezeichnen, und wenn Sie sagen, dass ein Ereignis aufgetreten ist, meinen Sie wirklich, dass sich die reale Welt als eine der möglichen Welten in diesem Ereignis herausgestellt hat. kann Mengen nicht einfach willkürlich Wahrscheinlichkeiten zuweisen, es sollte mit und gesundem Menschenverstand übereinstimmen . $\mu: \mathcal{P}(X) \to [0,1]$ $\mathcal{P}$ $\mu$ $f$

Sie sind fast zufrieden, aber dann stellen Sie fest, dass Sie andere Dinge modellieren möchten, die ursprünglich in nicht berücksichtigt wurden . Zum Beispiel möchten Sie über die Wahrscheinlichkeit sprechen, dass der Würfel dreimal springt. Wenn Sie Ihren Philosophenhut aufsetzen, entscheiden Sie im Allgemeinen, dass es unmöglich (oder zumindest sehr schwierig) ist, über die reale Welt zu sprechen. Wir können nur über unsere begrenzten Beobachtungen darüber sprechen. Stattdessen konstruieren Sie ein neues Objekt das ein reichhaltigeres Modell der Welt darstellt (zum Beispiel ist es eine sehr genaue physikalische Simulation eines Würfelwurfs oder sogar des gesamten Universums), aber Sie dürfen nur zufällig darüber sprechen Variablen. $X$ $\Omega$

Sie können jetzt stattdessen als Zufallsvariable (eine Funktion ) und viele andere definieren, die jeweils über interessante Eigenschaften sprechen. Für jede Menge von Ergebnissen einer Zufallsvariablen (wobei ein einzelnes Ergebnis nur ein Sonderfall ist) gibt es immer eine entsprechende Menge möglicher Welten (Teilmenge von ), das Ereignis. $X$ $\Omega \to \mathbb{N}$ $\Omega$

— Zenna
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Zum besseren Verständnis beschränken wir uns auf endliche Probenräume.

Erstens, als Antwort auf Ihre Frage, nein, das Ergebnis einer Zufallsvariablen ist kein Ereignis. Eine Zufallsvariable nimmt ein Element des Probenraums als Eingabe und gibt eine reelle Zahl aus.

Angenommen, wir ziehen eine Kugel aus einer Urne mit 3 Kugeln mit den Bezeichnungen A, B und C. Der Probenraum aller Kugeln in der Urne ist S = {A, B, C}. Es gibt 8 mögliche Ereignisse: {}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C}. Das Ereignis {B, C} bedeutet, dass der gezogene Ball entweder B oder C ist.

Eine Zufallsvariable ist eine reelle Funktion im Probenraum. Wenn die Zufallsvariable X A 10, 10 B und 30 C zuweist, ist der realisierte Wert von X 10, eine reelle Zahl, kein Ereignis, wenn A gezeichnet wird.

Wenn x eine Zahl ist, ist das Ereignis, das X = x entspricht, die Menge von Probenraumelementen, die von X auf x abgebildet werden. Im aktuellen Beispiel ist das Ereignis, das X = 10 entspricht, {A, B}, da sowohl A als auch B auf 10 abgebildet sind und C nicht.

Die obige Beziehung zwischen Zufallsvariablen und Ereignissen erstreckt sich auf andere Konzepte. Zum Beispiel sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig, wenn für jedes Paar reeller Zahlen x und y die Ereignisse X = x und Y = y unabhängig sind. In ähnlicher Weise sind X und Y bei Z bedingt unabhängig, wenn die Ereignisse X = x und Y = y bei dem Ereignis Z = z bedingt unabhängig sind.

(Ich gehe hier davon aus, dass es um die Beziehung zwischen Ereignissen und Zufallsvariablen geht und nicht um die Definitionen von Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit und bedingter Unabhängigkeit, die wir angenommen haben.)

— G. Grothendieck
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