Regressionskoeffizienten nach verschiedenen Differenzen interpretieren

Es gibt nur wenige Erklärungen, die beschreiben, wie lineare Regressionskoeffizienten nach Differenzierung einer Zeitreihe interpretiert werden (um eine Einheitswurzel zu eliminieren). Ist es so einfach, dass es nicht nötig ist, es formell zu formulieren?

(Ich bin mir dieser Frage bewusst , war mir aber nicht sicher, wie allgemein die Antwort war).

Nehmen wir an, wir interessieren uns für das Modell wobei möglicherweise ARMA ist (p, q). Es sind die , , ... , die von Interesse sind. Insbesondere die Interpretation in Bezug auf "eine Änderung von 1 Einheit führt zu einer durchschnittlichen Änderung von von " für$Y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1t}+\beta_{2}X_{2t} + +...+\beta_{p}X_{pt}+ \delta_{t}$$\delta_{t}$$\beta_{1}$$\beta_{2}$$\beta_{p}$$X_{i}$$Y_{t}$$\beta_{i}$$i = 1...p.$

Nehmen wir nun an, wir müssen aufgrund der vermuteten Nichtstationarität von einer Einheitswurzel unterscheiden (z. B. ADF-Test). Wir müssen dann auch auf die gleiche Weise jedes der .$Y_{t}$$X_{it}$

Was ist die Interpretation von wenn:$\beta_{i}$

1. Der erste Unterschied wird von und jedem der ?$Y'_{t}$$Y_{t}$$X_{it}$
2. Die zweite Differenz (Differenz der Differenz) ( ) wird von und jedem der X_ {it} genommen ? Y t X i $Y''_{t}$$Y_{t}$$X_{it}$
3. Eine saisonale Differenz (z. B. $(1-B^{12})$ für monatliche Daten) wird von $Y_{t}$ und jedem der $X_{it}$ ?

BEARBEITEN 1

Ich habe einen Text gefunden, der Unterschiede und die Interpretation von Koeffizienten erwähnt und der der verknüpften Frage sehr ähnlich klingt. Dies ist aus Alan Pankratz Forecasting with Dynamic Regression Seiten 119-120:

Nehmen wir ein Beispiel mit einer unabhängigen Variablen, da dies bei der Eingabe einfacher ist.

Wenn Sie von gilt dasselbe für . y t - 1 = β 0 + β 1 x t - $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$$y_{t-1}=\beta_0 + \beta_1 x_{t-1}$

Wenn ich also die beiden subtrahiere, erhalte ich . Daher ändert sich die Interpretation des Koeffizienten nicht , sie ist in jeder dieser Gleichungen dieselbe .β 1 β $\Delta y= \beta_1 \Delta x$ $\beta_1$ $\beta_1$

Die Interpretation der Gleichung ist jedoch nicht dieselbe wie die Interpretation der Gleichung . Das meine ich. Δ y = β 1 Δ $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $\Delta y= \beta_1 \Delta x$

So ist die Änderung in für eine Einheitsänderung in , aber es ist auch die Veränderung des Wachstums von für eine Einheitsänderung in das Wachstum von . y x y $\beta_1$$y$$x$$y$$x$

Der Grund für die Differenzierung ist 'technisch': Wenn die Serien nicht stationär sind, kann ich mit OLS nicht schätzen . Wenn die differenzierten Reihen stationär sind, kann ich die Schätzung von aus der Gleichung als Schätzung für in der Gleichung , weil dies der ist das gleiche .β 1 Δ y = β 1 Δ x β 1 y t = β 0 + β 1 x t β $y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t$$\beta_1$$\Delta y= \beta_1 \Delta x$$\beta_1$$y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$

Differenzierung ist also ein 'technischer' Trick, um eine Schätzung von in wenn die Reihen nicht stationär sind. Der Trick nutzt die Tatsache, dass das gleiche in der differenzierten Gleichung erscheint.y t = β 0 + β 1 x t β $\beta_1$$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$

Dies ist natürlich nicht anders, wenn es mehr als eine unabhängige Variable gibt.

Hinweis: All dies ist eine Folge der Linearität des Modells. Wenn dann , ist gleichzeitig die Änderung von für eine Einheit Änderung in aber auch die Änderung des Wachstums von y für eine Einheit Änderung des Wachstums von , es ist das gleiche .Δ y = α Δ x α y x x $y=\alpha x + \beta$$\Delta y = \alpha \Delta x$$\alpha$$y$$x$$x$$\alpha$

Nehmen Sie die endgültige Übertragungsfunktion und drücken Sie sie als reine Gleichung auf der rechten Seite erneut aus. In dieser Form handelt es sich um eine PDL oder ADL. Die Interpretation folgt dann wie gewohnt. Ich habe diese Option in AUTOBOX implementiert und sie als RECHTS-HAND-Seite bezeichnet. Wenn Sie einen Datensatz und das Modell veröffentlichen, das Sie verwenden möchten, werde ich die Ergebnisse gerne veröffentlichen.

EDITIERT: UM EIN ILLUSTRATIVES BEISPIEL ZUR PRÜFUNG DER HYPOTHESE GLEICHER KOEFFIZIENZEN ZU PRÄSENTIEREN:

Ich nahm den GASX-Datensatz (X zuerst, dann Y) aus dem hier verfügbaren Box-Jenklins-Text http://www.autobox.com/stack/GASX.ASC und schätzte eine Übertragungsfunktion für die undifferenzierte Reihe und erhielt sie

Ich habe dann eine einfache Differenzierung sowohl für Y als auch für X eingeführt und erhalten . Die Hypothese, dass die Koeffizienten gleich sind, wird zurückgewiesen. Die Koeffizienten sind ähnlich, aber definitiv nicht gleich. Ich habe dann versucht, einen MA-Koeffizienten (nahe 1) einzuführen, um die algebraische Übung des Multiplizierens mit [1-B] abzuschließen, aber das hat auch die nicht differenzierten Ergebnisse nicht reproduziert.

Zusammenfassend: Die Antwort lautet, dass sie unterschiedlich sind, dies kann jedoch auf den ausgelassenen konstanten Term im undifferenzierten Fall zurückzuführen sein.

Ich entschied mich, zwei weiße Rauschreihen (X1 und Y1) zu simulieren und ein OLS-Modell für sie ohne konstanten Term zu schätzen und zu erhalten. Ich habe dann sowohl die weiße Nosie-Serie X1 als auch die weiße Y1-Serie integriert und zwei neue Serien (X2 und Y2) erhalten. Das Folgende ist das Ergebnis eines OLS-Modells für X2 UND Y2 [ ] [4]. Der resultierende Regressionskoeffizient ist nahezu identisch (kleine Abweichung aufgrund von 1 weniger Beobachtung in der X2, Y2-Studie. Daher kann ich schließen, dass der Fall bewiesen ist (oder nicht) abgelehnt), dass Regressionskoeffizienten vergleichbar sind. Beachten Sie, dass bei der Einführung einer Konstante in (X1 gegenüber Y1) der Regressionskoeffizient nicht derselbe war. Anscheinend besteht die Anforderung, dass keine Konstante in den Basisfall aufgenommen werden sollte (undifferenziert) Die Ergebnisse stimmen mit @f coppens überein.