Wie interpretiere ich meine Regression mit ersten differenzierten Variablen?

Ich habe zwei Zeitreihen:

1. Ein Proxy für die Marktrisikoprämie (ERP; rote Linie)
2. Der risikofreie Zinssatz, vertreten durch eine Staatsanleihe (blaue Linie)

Ich möchte testen, ob der risikofreie Tarif das ERP erklären kann. Dabei folgte ich grundsätzlich dem Rat von Tsay (2010, 3. Auflage, S. 96): Financial Time Series:

1. Passen Sie das lineare Regressionsmodell an und überprüfen Sie die seriellen Korrelationen der Residuen.
2. Wenn es sich bei der Residuenserie um eine Nichtstationarität der Einheitswurzel handelt, nehmen Sie die erste Differenz der abhängigen und der erklärenden Variablen.

Wenn ich den ersten Schritt mache, erhalte ich die folgenden Ergebnisse:

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     6.77019    0.25103   26.97   <2e-16 ***
Risk_Free_Rate -0.65320    0.04123  -15.84   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Wie aus der Abbildung zu erwarten ist, ist die Beziehung negativ und signifikant. Die Residuen sind jedoch seriell korreliert:

Daher unterscheide ich zunächst sowohl die abhängige als auch die erklärende Variable. Folgendes bekomme ich:

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    -0.002077   0.016497  -0.126      0.9    
Risk_Free_Rate -0.958267   0.053731 -17.834   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Und die ACF der Residuen sieht so aus:

Dieses Ergebnis sieht gut aus: Erstens sind die Residuen jetzt unkorreliert. Zweitens scheint die Beziehung jetzt negativer zu sein.

Hier sind meine Fragen (Sie haben sich wahrscheinlich schon gefragt ;-) Die erste Regression hätte ich als (ökonometrische Probleme beiseite gelegt) interpretiert: "Wenn die risikofreie Rate um einen Prozentpunkt steigt, sinkt die ERP um 0,65 Prozentpunkte." Tatsächlich würde ich, nachdem ich eine Weile darüber nachgedacht habe, die zweite Regression genauso interpretieren (was jetzt allerdings zu einem Rückgang von 0,96 Prozentpunkten führt). Ist diese Interpretation richtig? Es fühlt sich einfach komisch an, dass ich meine Variablen transformiere, aber meine Interpretation nicht ändern muss. Wenn dies jedoch korrekt ist, warum ändern sich die Ergebnisse? Ist dies nur das Ergebnis ökonometrischer Probleme? Wenn ja, hat jemand eine Idee, warum meine zweite Regression noch "besser" zu sein scheint? Normalerweise lese ich immer, dass Sie falsche Korrelationen haben können, die verschwinden, nachdem Sie es richtig gemacht haben. Hier,

$$\begin{equation*} y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \beta_2 t + \epsilon_t. \end{equation*}$$ $y_{t-1}$$\beta_0 + \beta_1 x_{t-1} + \beta_2 ({t-1}) + \epsilon_{t-1}$$y_{t-1}$ $$\begin{equation*} \Delta y_t = \beta_1 \Delta x_t + \beta_2 + \Delta \epsilon_t. \end{equation*}$$ $\Delta x$$\beta_1$

$$\begin{equation*} \epsilon_t = \sum_{s=0}^{t-1}{\nu_s}, \end{equation*}$$ $\nu_s$

$\epsilon$

Aus diesen Gründen ist es wichtig, nur Prozesse zu differenzieren, die aufgrund von Einheitswurzeln nicht stationär sind und für sogenannte trendstationäre Prozesse das Detrending verwenden.

(Durch eine Einheitswurzel ändert sich die Varianz einer Reihe und sie explodiert tatsächlich mit der Zeit. Der erwartete Wert dieser Reihe ist jedoch konstant. Ein trendstationärer Prozess hat die entgegengesetzten Eigenschaften.)

Die erste Differenzierung entfernt lineare Trends, die in Ihren ursprünglichen Residuen bestehen zu bleiben scheinen. Es sieht so aus, als hätte die erste Differenzierung den Trend in den Residuen beseitigt, und Sie haben im Grunde genommen unkorrelierte Residuen. Ich denke, dass der Trend bei den Residuen möglicherweise einen Teil der negativen Beziehung zwischen ERP und risikofreier Rate verborgen hat und dass dies der Grund ist, warum das Modell nach der Differenzierung eine stärkere Beziehung aufweist.