Verteilung der Summe der Auftragsstatistiken

Die Frage stammt von einem Problem, das ich in Robert Hoggs Einführung in das Problem 7.2.9 der 6. Version von Mathematical Statistics auf Seite 380 zu lösen versuche.

Das Problem ist:

Wir betrachten eine Zufallsstichprobe aus einer Verteilung mit pdf ) exp ( ), 0 <x <\ infty . Möglicherweise beobachten wir in einer Lebenstestsituation jedoch nur die Statistiken erster Ordnung Y_1 <Y_2 <\ cdots <Y_r .$X_1, X_2,\ldots ,X_n$$f(x;\theta)=(1/\theta$$-x/\theta$$0<x<\infty$$Y_1<Y_2<\cdots <Y_r$

(a) Zeichnen Sie das gemeinsame PDF dieser Auftragsstatistik auf und bezeichnen Sie es mit $L(\theta)$

(b) Finden Sie unter diesen Bedingungen die mle $\hat{\theta}$ , indem Sie L (\ theta) maximieren $L(\theta)$.

(c) Finden Sie die mgf und pdf von $\hat{\theta}$ .

(d) Ist \ hat {\ theta} mit einer geringfügigen Erweiterung der Definition von Suffizienz $\hat{\theta}$eine ausreichende Statistik?

Ich kann (a) und (b) lösen, aber ich stehe vollständig bei (c) und kann daher nicht an (d) weiterleiten.

Löse (a):

Wir wissen , gemeinsame pdf für $Y_1,Y_2,\ldots,Y_n$ ist $g(y_1,y_2,\ldots,y_n)=n!f(y_1)f(y_2)\cdots f(y_n)$ integrieren wir heraus nur die (r + 1) zu n Termen erhalten wir gemeinsame pfd für $Y_1,Y_2,\ldots,Y_r$ .

$h(y_1,y_2,\ldots,y_r)=n!f(y_1)f(y_2)\cdots f(y_r)\int_{n-1}^{\infty} \int_{n-2}^{\infty}\cdots \int_{r+1}^{\infty} \int_{r}^{\infty}f(y_{r+1})f(y_{r+2})\cdots f(y_{n-1})f(y_n)dy_{r+1}dy_{r+2}\cdots dy_{n-1}dy_{n}$

$=n!f(y_1)f(y_2)\cdots f(y_r) \int_{n-2}^{\infty}\cdots \int_{r+1}^{\infty} \int_{r}^{\infty}f(y_{r+1})f(y_{r+2})\cdots f(y_{n-1})[1-F(y_{n-1})]dy_{r+1}dy_{r+2}\cdots dy_{n-1}$

$=n!f(y_1)f(y_2)\cdots f(y_r)\int_{n-2}^{\infty}\cdots \int_{r+1}^{\infty} \int_{r}^{\infty}f(y_{r+1})f(y_{r+2})\cdots f(y_{n-2})(-1)[1-F(y_{n-1})]dy_{r+1}dy_{r+2}\cdots dy_{n-2}]d[1-F(y_{n-1})]$

$=n!f(y_1)f(y_2)\cdots f(y_r)\int_{n-2}^{\infty}\cdots \int_{r+1}^{\infty} \int_{r}^{\infty}f(y_{r+1})f(y_{r+2})\cdots f(y_{n-2})\frac{[1-F(y_{n-2})]^2}{2}dy_{r+1}dy_{r+2}\cdots dy_{n-2}$

$=n!f(y_1)f(y_2)\cdots f(y_r)\frac{[1-F(y_r)]^{n-r}}{(n-r)!}$

$=n!\frac{1}{\theta}e^{\frac{-y_1}{\theta}}\frac{1}{\theta}e^{\frac{-y_2}{\theta}}\cdots \frac{1}{\theta}e^{\frac{-y_r}{\theta}}[e^{-y_r/\theta}]^{n-r}/(n-r)!$

$=\frac{n!\theta^{-r}}{(n-r)!}e^{-\frac{1}{\theta}[\sum_{i=1}^{r}y_i+(n-r)y_r]}$

(b)

Dieser Teil ist nicht schwierig. Es ist nur eine normale Art, mle zu berechnen.

$\log L(\theta;y)=\log \frac{n!}{(n-2)!}-r\log(\theta)-\frac{1}{\theta}[\sum_{i=1}^{r}y_i+(n-r)y_r]$ Nehmen Sie eine Ableitung der Log-Likelihood-Funktion, die wir erhalten: $\partial \frac{L(\theta;y)}{\theta}=\frac{1}{\theta^2}[\sum_{i=1}^{r}y_i+(n-r)y_r]-r\frac{1}{\theta}$

Setzen Sie die Ableitung auf Null

Wir erhalten:$\hat{\theta}=\frac{[\sum_{i=1}^{r}y_i+(n-r)y_r]}{r}$

(c)

Um (c) zu lösen, müssen wir zumindest die Verteilung von .$\sum_{i=1}^{r}y_i$

Ich suche im Internet, es gibt einen Vortrag über diese Distribution, https://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/articles/orderStatSum.pdf

Ich denke jedoch, dass die Methode möglicherweise nicht korrekt ist, da die Ordnungsstatistik unterschiedlich ist und wir dort keine Binomialverteilung verwenden können.$F(y_i)$

Es gibt ein weiteres Papier hier http://www.jstor.org/stable/4615746?seq=1#page_scan_tab_contents

Aber ich bin völlig verloren bei Formel (2.2), wenn jemand das Papier mit detaillierteren Berechnungen erklären möchte, wird es sehr geschätzt.

(d) erst nach dem Lösen von (c)

Da Sie haben das gemeinsame PDF von . Von dort können Sie das PDF vonIn der Tat, weil der Jacobi der Transformation konstant ist, impliziert durch Integration in dass

$$(y_1,\ldots,y_r)\sim\frac{n!\theta^{-r}}{(n-r)!}e^{-\frac{1}{\theta}[\sum_{i=1}^{r}y_i+(n-r)y_r]}\mathbb{I}_{y_\le y_2\le \ldots \le y_r}$$ $(y_1,\ldots,y_r)$ $$s_r=\sum_{i=1}^{r}y_i+(n-r)y_r\,.$$ $$\begin{align*}f_s(y_1,\ldots,y_{r-1},s_r) &\propto f_Y\left(y_1,\ldots,\left\{s_r-\sum_{i=1}^{r-1}y_i\right\}\Big/(n-r+1)\right) \\&\propto \theta^{-r} \exp\{-s_r/\theta\}\mathbb{I}_{y_\le y_2\le \ldots \le\left\{s_r-\sum_{i=1}^{r-1}y_i\right\}/(n-r+1)}\end{align*}$$ $y_1,\ldots,y_{r-1}$ $$f_s(s_r)\propto\theta^{-r} \exp\{-s_r/\theta\}s_r^{r-1}$$ In der Tat, führt zu einer Einschränkung durch und durch was sich zu vereinfacht Wenn man anfängt, sich in , ist das innerste Integral $$\begin{align*} f_s(s_r)&=\int\cdots\int f_s(y_1,\ldots,y_{r-1},s_r)\text{d}y_1\cdots\text{d}y_{r-1}\\ &= \theta^{-r} \exp\{-s_r/\theta\}\int\cdots\int \mathbb{I}_{y_\le y_2\le \ldots \le\left\{s_r-\sum_{i=1}^{r-1}y_i\right\}/(n-r+1)}\text{d}y_1\cdots\text{d}y_{r-1} \end{align*}$$ $y_{r-1}$$y_{r-2}\le y_{r-1}$ $$y_{r-1}\le \left\{s_r-\sum_{i=1}^{r-1}y_i\right\}/(n-r+1)=\left\{s_r-\sum_{i=1}^{r-2}y_i\right\}/(n-r+1)-\frac{y_{r-1}}{n-r+1}$$ $$y_{r-1}\le \left\{s_r-\sum_{i=1}^{r-2}y_i\right\}/(n-r+2)$$ $y_{r-1}$ $$\begin{align*}\int_{y_{r-2}}^{\{s_r-\sum_{i=1}^{r-2}y_i\}/(n-r+2)}\text{d}y_{r-1}&=\left\{s_r-\sum_{i=1}^{r-2}y_i\right\}/(n-r+2)-y_{r-2}\\ &=\left\{s_r-\sum_{i=1}^{r-3}y_i\right\}/(n-r+2)-\frac{(n-r+1)y_{r-2}}{n-r+2} \end{align*}$$ und von dort aus kann man durch Rekursion fortfahren.

Daher

$$s_r\sim\mathcal{G}a(r,1/\theta)$$

Hier ist eine R-Simulation, um die Anpassung zu zeigen: erhalten wie folgt

n=10
r=5    
sim=matrix(rexp(n*1e4),1e4,n)
sim=t(apply(sim,1,sort))
res=apply(sim[,1:r],1,sum)+(n-r)*sim[,5]
hist(res,prob=TRUE)
curve(dgamma(x,sh=(n-r),sc=1),add=TRUE)

Ich lerne auch selbst die 7. Ausgabe der Mathematischen Statistik und habe gestern das gleiche Problem gelöst. Diese Seite hat mir sehr geholfen. Ich würde es auch gerne beitragen. Ich bin kein englischer Muttersprachler. Bitte haben Sie nichts dagegen, wenn mein Ausdruck nicht natürlich ist.

Das Problem hat uns gebeten, mgf von . Wir können es mit mgf von , das ist .$\hat \theta$$y_1,y_2,...,y_r$$M_{\vec Y_r} ( \vec t)$

Da und , das bekommen wir: wobei und .

$$f_{\vec Y_r}= {n!\over(n-r)! \theta^r} e^{-{1 \over \theta } (\sum^r_{i=1} {y_i}+(n-r)y_r)}$$ $$M_{\vec Y_r} ( \vec t)=M_{\vec Y_r}((t_1,t_2,...,t_r)')=E[e^{t'Y}]$$ $$M_{\vec Y_r} ((t_1,t_2,...,t_r)')=\int_A {n!\over(n-r)! \theta^r} e^{ \sum^{r-1}_{i=1} {(t_i-{1 \over \theta })y_i}+(t_r-{(n-r+1)\over \theta})y_r} dy_1 dy_2 ...dy_r$$ $A=\{(y_1,y_2,...,y_r)| 0<y_1\leq y_2 \leq ...\leq y_r < \infty \}$$t_i <{1\over\theta}$

Wir interessieren uns für das die mgf, . Und das ist genau das gleiche mit$\hat \theta= {1\over r}{(\sum^r_{i=1} {y_i}+(n-r)y_r)}$$M_{\hat \theta}(t)=E[e^{t \hat\theta}]$$M_{\vec Y_r} (({t\over r},{t\over r},...,{t\over r},{{n-r+1}\over r}t)')$

Hier ist ein Trick, um dies zu vereinfachen: wobei und das Integral mit s aus.$q_i=e^{-({1\over \theta}-{t\over r}) y_i}$$1 >q_1 \ge q_2 \ge ... \ge q_n >0$$q_i$

$$M_{\hat \theta}(t)={n!\over(n-r)! \theta^r} {1 \over { ({1 \over \theta }-{t \over r})^r}} \int_0^1 \int_0^{q_1}...\int_0^{q_{r-1}} \int_0^{q_r} q_r^{(n-r)} dq_r dq_{r-1}...dq_2 dq_1$$

Sie können dies leicht berechnen.

$$M_{\hat \theta}(t)=(1-{\theta \over r}t)^{-r}$$

Sie können also das den Mittelwert .

$$\hat\theta \sim \Gamma(r,{\theta \over r})$$ $\theta$

Vielen Dank, dass Sie meine erste Antwort auf stackexchange gelesen haben.