Ausreichende Statistik für nicht exponentielle Familienverteilung

Frage: Sei eine iid-Stichprobe aus . Ich möchte zeigen, dass dieses Modell kein Mitglied der Exponentialfamilie ist, und eine ausreichende Statistik für $X_1,X_2,\ldots,X_n$ $N(\theta , 4 \theta^2 )$ $\theta$

Versuch :

\begin{aligned} f (\underline{x}; θ) & = \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{8 π θ^{2}}} \exp (\frac{- 1}{8 θ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - θ)^{2}) \\ = \exp (\ln (8 π θ^{2})^{- n / 2} - \frac{1}{8 θ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + \frac{1}{4 θ} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - \frac{n}{8}) \end{aligned}

$\begin{align*} f(~\underline{x}~;\theta) &= \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{8 \pi \theta^2}} \exp\left(\frac{-1}{8 \theta^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \theta)^2\right)\\ &=\exp \left(\ln(8\pi \theta^2)^{-n/2}- \frac{1}{8 \theta^2}\sum_{i=1}^n x_i^2 + \frac{1}{4 \theta} \sum_{i=1}^n x_i - \frac{n}{8}\right) \end{align*}$

Dies ist also eindeutig kein Mitglied der Exponentialfamilie, da es sich um die Darstellung einer zweidimensionalen Exponentialfamilie handelt, aber wir haben nur einen Parameter.

Ich habe Probleme, eine ausreichende Statistik zu finden. Kann ich jedoch eine zweidimensionale Statistik haben, wenn ich einen Parameter schätze?

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Nachdem ich eine ähnliche Frage gestellt habe, bin ich ziemlich sicher, dass eine ausreichende Statistik gegeben ist durch: . Ich denke, meine Frage läuft nur darauf hinaus, wie wir eine zweidimensionale Statistik haben können, um einen Parameter zu schätzen. Das scheint nicht intuitiv zu sein. $S=(S_1,S_2) =(\sum_{i=1}^n x_i^2,\sum_{i=1}^n x_i)$

Außerdem habe ich erfahren, dass dies ein Mitglied der gekrümmten Exponentialfamilie ist, eine weitere Verallgemeinerung der Exponentialfamilie.

— dimebucker91
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Sie werden feststellen, dass diese ausreichende Statistik nicht vollständig ist.

— kjetil b halvorsen

Erstens ist dies eine exponentielle Familie (wie aus dem obigen Auszug aus Brown, 1986, hervorgeht), da die Dichte als gegen eine bestimmte dominierende Maßnahme. Dass die beiden Koeffizienten und mit einer funktionalen Beziehung verbunden sind, ist kein Problem: Sie hängen auch beide deterministisch von . Die Tatsache, dass eindimensional und die Familie zweidimensional ist, ist ein Fall von gekrümmten Exponentialfamilien (siehe Auszug unten aus Brown, 1986)

\exp {Φ_{1} (θ) S_{1} (x) + Φ_{2} (θ) S_{2} (x) - Ψ (θ)}

$\exp\{\Phi_1(\theta) S_1({\mathbf x})+\Phi_2(\theta) S_2({\mathbf x})-\Psi(\theta)\}$

Φ_{1} (θ)

$\Phi_1(\theta)$

Φ_{2} (θ)

$\Phi_2(\theta)$

θ

$\theta$

θ

$\theta$ ). Diese Familie kann auf einen (vollständigen) wirklich zweidimensionalen Parameterraum erweitert werden, von dem das ein Sonderfall ist. Oder eine Kurve wie im erweiterten (vollen) Parameterraum. Aber gekrümmte Exponentialfamilien sind Sonderfälle von Exponentialfamilien, keine Verallgemeinerungen.

N (θ, 4 θ ²)

${\cal N}(\theta, 4\theta²)$

Ψ_{1} = Ψ_{2}^{2} / 2

$\Psi_1=\Psi_2^2/2$

Ein weiterer Grund dafür, dass diese Verteilung aus einer Exponentialfamilie stammt, besteht darin, dass unabhängig von der Stichprobengröße eine ausreichende Statistik der Dimension zwei existiert. Nach dem Darmois-Pitman-Koopman-Lemma kann dies nur in einer exponentiellen Familie auftreten. $n$

Aus dem gleichen Grund wie zuvor kann es eine ausreichende Statistik der Dimension zwei und einen Parameter der Dimension eins geben, und dies ist kein Widerspruch, da dieselbe ausreichende Statistik der Dimension zwei für die erweiterte (vollständige) Exponentialfamilie mit zwei Parametern dient. Beispiele (oder Paradoxe), bei denen dies geschieht, sind in der Literatur reichlich vorhanden. Siehe zum Beispiel Romano und Siegel (1987) . Wie Kjetil B. Halvorsen hervorhob, sind diese "Paradoxe" im Allgemeinen mit einem Mangel an Vollständigkeit verbunden.

— Xi'an
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