Verwenden der Gleichverteilung zur Erzeugung korrelierter Zufallsstichproben in R.

[Bei den letzten Fragen habe ich mich mit der Erzeugung von Zufallsvektoren in R befasst und wollte diese "Forschung" als unabhängige Frage und Antwort zu einem bestimmten Punkt teilen.]

Erzeugen von Zufallsdaten mit Korrelation kann unter Verwendung der Cholesky - Zerlegung der Korrelationsmatrix durchgeführt wird hier , wie auf dem Stand der Beiträge reflektierte hier und hier .$C = LL^{T}$

Die Frage, die ich ansprechen möchte, ist, wie die Gleichverteilung verwendet werden kann, um korrelierte Zufallszahlen aus verschiedenen Randverteilungen in R zu generieren .

Da ist die Frage

"Wie verwende ich die Gleichverteilung, um korrelierte Zufallszahlen aus verschiedenen Randverteilungen in zu generieren? "$\mathbb{R}$

und nicht nur normale Zufallsvariablen, die obige Antwort erzeugt keine Simulationen mit der beabsichtigten Korrelation für ein beliebiges Paar von Randverteilungen in .$\mathbb{R}$

Der Grund ist , dass für die meisten cdfs und G Y , cor ( X , Y ) ≠ cor ( G - 1 X ( Φ ( X ) , G - 1 Y ( Φ ( Y ) ) , wenn ( X , Y ) ∼ N 2 ( 0 , Σ ) , wobei Φ das normale Standard-cdf bezeichnet.$G_X$$G_Y$

Nämlich ist hier ein Gegenbeispiel mit einem Exp (1) und eine Gamma (.2,1) als mein Paar Randverteilungen in .$\mathbb{R}$

library(mvtnorm)
#correlated normals with correlation 0.7
x=rmvnorm(1e4,mean=c(0,0),sigma=matrix(c(1,.7,.7,1),ncol=2),meth="chol")
cor(x[,1],x[,2])
  [1] 0.704503
y=pnorm(x) #correlated uniforms
cor(y[,1],y[,2])
  [1] 0.6860069
#correlated Exp(1) and Ga(.2,1)
cor(-log(1-y[,1]),qgamma(y[,2],shape=.2))
  [1] 0.5840085

Ein weiteres offensichtliches Gegenbeispiel ist, wenn das Cauchy-cdf ist. In diesem Fall ist die Korrelation nicht definiert.$G_X$

Um ein breiteres Bild zu geben, hier ein R-Code, bei dem sowohl als auch G Y beliebig sind:$G_X$$G_Y$

etacor=function(rho=0,nsim=1e4,fx=qnorm,fy=qnorm){
  #generate a bivariate correlated normal sample
  x1=rnorm(nsim);x2=rnorm(nsim)
  if (length(rho)==1){
    y=pnorm(cbind(x1,rho*x1+sqrt((1-rho^2))*x2))
    return(cor(fx(y[,1]),fy(y[,2])))
    }
  coeur=rho
  rho2=sqrt(1-rho^2)
  for (t in 1:length(rho)){
     y=pnorm(cbind(x1,rho[t]*x1+rho2[t]*x2))
     coeur[t]=cor(fx(y[,1]),fy(y[,2]))}
  return(coeur)
  }

Das Herumspielen mit verschiedenen cdfs führte mich dazu, diesen Sonderfall einer -Verteilung für G X und einer logarithmischen Normalverteilung für G Y herauszustellen :$\chi^2_3$$G_X$$G_Y$

rhos=seq(-1,1,by=.01)
trancor=etacor(rho=rhos,fx=function(x){qchisq(x,df=3)},fy=qlnorm)
plot(rhos,trancor,ty="l",ylim=c(-1,1))
abline(a=0,b=1,lty=2)

Dies zeigt, wie weit die Korrelation von der Diagonale entfernt sein kann.

$G_X$$G_Y$$\text{cor}(X,Y)$$(-1,1)$

Ich habe das correlatePaket geschrieben. Die Leute sagten, es sei vielversprechend (verdient eine Veröffentlichung im Journal of Statistical Software), aber ich habe das Papier nie dafür geschrieben, weil ich mich entschieden habe, keine akademische Karriere zu verfolgen.

Ich glaube, das nicht gewartete correlatePaket ist immer noch auf CRAN.

Wenn Sie es installieren, können Sie Folgendes tun:

require('correlate')
a <- rnorm(100)
b <- runif(100)
newdata <- correlate(cbind(a,b),0.5)

Das Ergebnis ist, dass neue Daten eine Korrelation von 0,5 haben, ohne die univariaten Verteilungen von aund zu ändern b(dieselben Werte sind vorhanden, sie werden nur verschoben, bis die multivariate 0,5-Korrelation erreicht ist.

Ich werde hier auf Fragen antworten, entschuldige die fehlende Dokumentation.

1. Generieren Sie zwei Stichproben korrelierter Daten aus einer normalen Standard-Zufallsverteilung nach einer vorgegebenen Korrelation .

   Als Beispiel wählen wir eine Korrelation r = 0,7 und codieren eine Korrelationsmatrix wie:

   (C <- matrix(c(1,0.7,0.7,1), nrow = 2)) [,1] [,2] [1,] 1.0 0.7 [2,] 0.7 1.0

   Wir können mvtnormjetzt diese beiden Stichproben als bivariaten Zufallsvektor generieren:

   set.seed(0)

   SN <- rmvnorm(mean = c(0,0), sig = C, n = 1e5)$N(0, 1)$cor(SN[,1],SN[,2])= 0.6996197 ~ 0.7

   X1 <- SN[,1]; X2 <- SN[,2]

   Hier ist die Darstellung mit der überlappenden Regressionslinie:

   

2. $U(0, 1)$

   U <- pnorm(SN)pnormSN$erf(SN)$$\Phi(SN)$cor(U[,1], U[,2]) = 0.6816123 ~ 0.7

   Wieder können wir den Vektor zerlegen U1 <- U[,1]; U2 <- U[,2]und ein Streudiagramm mit Randverteilungen an den Rändern erzeugen, das ihre einheitliche Natur deutlich zeigt:

   

3. Anwenden der inversen Transformationsverfahren Abtasten hier , um schließlich den Bivektor von gleich korrelierten Punkte zu erhalten , die zu je nachdem , welche Verteilung Familie wir uns vorgenommen haben zu reproduzieren.

   Von hier aus können wir nur zwei Vektoren erzeugen, die normal und mit gleichen oder unterschiedlichen Varianzen verteilt sind . Zum Beispiel: Y1 <- qnorm(U1, mean = 8,sd = 10)und Y2 <- qnorm(U2, mean = -5, sd = 4), wodurch die gewünschte Korrelation aufrechterhalten wird , cor(Y1,Y2) = 0.6996197 ~ 0.7.

   U1$t$U2$\lambda$Z1 <- qt(U1, df = 3)Z2 <- qexp(U2, rate = 1)cor(Z1,Z2) [1] 0.5941299 < 0.7

   

Hier ist ein Beispiel für Code für den gesamten Prozess und normale Ränder:

Cor_samples <- function(r, n, mean1, mean2, sd1, sd2){
C <- matrix(c(1,r,r,1), nrow = 2)
require(mvtnorm)
SN <- rmvnorm(mean = c(0,0), sig = C, n = n)
U <- pnorm(SN)
U1 <- U[,1]
U2 <- U[,2]

 Y1 <<- qnorm(U1, mean = mean1,sd = sd1) 
 Y2 <<- qnorm(U2, mean = mean2,sd = sd2) 

sample_measures <<- as.data.frame(c(mean(Y1), mean(Y2), sd(Y1), sd(Y2), cor(Y1,Y2)), names<-c("mean Y1", "mean Y2", "SD Y1", "SD Y2", "Cor(Y1,Y2)"))
sample_measures
}

Zum Vergleich habe ich eine Funktion zusammengestellt, die auf der Cholesky-Zerlegung basiert:

Cholesky_samples <- function(r, n, mean1, mean2, sd1, sd2){
C <- matrix(c(1,r,r,1), nrow = 2)
L <- chol(C)
X1 <- rnorm(n)
X2 <- rnorm(n)
X <- rbind(X1,X2)

Y <- t(L)%*%X
Y1 <- Y[1,]
Y2 <- Y[2,]

N_1 <<- Y[1,] * sd1 + mean1
N_2 <<- Y[2,] * sd2 + mean2

sample_measures <<- as.data.frame(c(mean(N_1), mean(N_2), sd(N_1), sd(N_2), cor(N_1, N_2)), 
                  names<-c("mean N_1", "mean N_2", "SD N_1", "SD N_2","cor(N_1,N_2)"))
sample_measures
}

$r=0.7$$N(97,23)$$N(32,8)$set.seed(99)

Verwenden der Uniform:

cor_samples(0.7, 1000, 97, 32, 23, 8)
           c(mean(Y1), mean(Y2), sd(Y1), sd(Y2), cor(Y1, Y2))
mean Y1                                            96.5298821
mean Y2                                            32.1548306
SD Y1                                              22.8669448
SD Y2                                               8.1150780
cor(Y1,Y2)                                          0.7061308

und Verwenden des Cholesky:

Cholesky_samples(0.7, 1000, 97, 32, 23, 8)
             c(mean(N_1), mean(N_2), sd(N_1), sd(N_2), cor(N_1, N_2))
mean N_1                                                   96.4457504
mean N_2                                                   31.9979675
SD N_1                                                     23.5255419
SD N_2                                                      8.1459100
cor(N_1,N_2)                                                0.7282176