Intuition für höhere Momente in der Kreisstatistik

In Kreis Statistiken, der Erwartungswert einer Zufallsvariablen mit den Werten auf dem Kreis ist definiert als (siehe wikipedia ). Dies ist eine sehr natürliche Definition, ebenso wie die Definition der Varianz Wir brauchten also keinen zweiten Moment, um die Varianz zu definieren! $Z$ $S$

m_{1} (Z) = \int_{S} z P^{Z} (θ) d θ

$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$

V ein r (Z) = 1 - | m_{1} (Z) | .

$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$

Dennoch definieren wir die höheren Momente Ich gebe zu, dass dies auf den ersten Blick ziemlich natürlich aussieht und der Definition in der linearen Statistik sehr ähnlich ist. Trotzdem fühle ich mich ein bisschen unwohl und habe Folgendes

m_{n} (Z) = \int_{S} z^{n} P^{Z} (θ) d θ .

$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$

Fragen:

1. Was wird an den oben definierten höheren Momenten (intuitiv) gemessen ? Welche Eigenschaften der Verteilung lassen sich durch ihre Momente charakterisieren?

2. Bei der Berechnung der höheren Momente verwenden wir die Multiplikation komplexer Zahlen, obwohl wir uns die Werte unserer Zufallsvariablen lediglich als Vektoren in der Ebene oder als Winkel vorstellen. Ich weiß, dass komplexe Multiplikation in diesem Fall im Wesentlichen eine Addition von Winkeln ist, aber dennoch: Warum ist komplexe Multiplikation eine sinnvolle Operation für zirkuläre Daten?

— Rasmus
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$P^Z$ $Z$ $1$ $Z$ $[0,2\pi)$

Was Ihre zweite Frage betrifft, so haben Sie vermutlich bereits die Antwort gegeben: "Komplexe Multiplikation ist in diesem Fall im Wesentlichen eine Addition von Winkeln".

— Mark Meckes
quelle

Danke, das ist wirklich hilfreich. (Schade, dass ich eine Fourier-Serie nicht erkannt habe, auch wenn ich auf sie zugerast bin ...)

— Rasmus

Bedeutet dies, dass die Momente einer Kreisverteilung eher mit der charakteristischen Funktion einer linearen Verteilung verglichen werden sollten als mit ihren Momenten?

— Rasmus

@Rasmus: Ich denke, das hängt genau davon ab, was Sie mit den Informationen machen wollen, aber im Allgemeinen würde ich ja sagen.

— Mark Meckes