Wie ist die Verteilung des Maximums eines Paares von iid-Zügen, wobei das Minimum eine Ordnungsstatistik anderer Minima ist?

Betrachten Sie $n\cdot m$ unabhängige Draws aus cdf $F(x)$ , das über 0-1 definiert ist, wobei $n$ und $m$ ganze Zahlen sind. Gruppieren Sie die Draws willkürlich in $n$ Gruppen mit m Werten in jeder Gruppe. Sehen Sie sich den Mindestwert in jeder Gruppe an. Nehmen Sie die Gruppe, die das größte dieser Minima hat. Welche Verteilung definiert nun den Maximalwert in dieser Gruppe? Allgemeiner ausgedrückt, wie ist die Verteilung für die Statistik $j$ ter Ordnung von $m$ Zügen von $F(x)$, wo die k-te Ordnung dieser m Ziehungen auch die p-te Ordnung der n Ziehungen dieser Statistik k-ter Ordnung ist?

All das ist höchstens abstrakt, daher hier ein konkreteres Beispiel. Betrachten Sie 8 Ziehungen von $F(x)$ . Gruppieren Sie sie in 4 2er-Paare. Vergleichen Sie den Mindestwert in jedem Paar. Wählen Sie das Paar mit dem höchsten dieser 4 Minima. Beschriftung mit "a". Beschriften Sie den anderen Wert in demselben Paar mit "b". Was ist die Verteilung $F_b(b)$ ? Wir wissen, $b>a$ . Wir wissen, dass a das Maximum von 4 Minima von $F(x)$ , von $F_a(a) = (1-(1-F(x))^2)^4$ . Was ist$F_b(b)$ ?

$X_{i,j}$$f(x_{i,j})$$F(x_{i,j})$
j x f i n a l P ( X f i n a l < x ) P ( X max , j 0 < x  und  X min , j 0 = max j X min , j  und  1 ≤ j 0 ≤ n ) = n $X_{\max,j}, X_{\min,j}$$j$$X_{final}$Die Variable, die sich am Ende aller Prozesse ergibt. Wir wollen berechnen, das Nun sei und . $P(X_{final}<x)$

$$P(X_{\max,j_0}<x \hbox{ and } X_{\min,j_0}=\max_j{X_{\min,j}} \hbox { and } 1\leq j_0\leq n)$$ = n m P ( X 1 , 1 < x  und  X 1 , 1 = max i ( X i , 1 )  und  X min , 1 = max j x min , $$=nP(X_{max,1}<x \hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ = N m P ( X 1 , 1 < x , X 1 , 1 > X 2 , 1 > max j = 2 ... n X m i n , j , ... , X 1 , 1 > X m , 1 > max j = 2 … n X m i n , j $$=nmP(X_{1,1}<x\hbox{ and } X_{1,1}=\max_i(X_{i,1})\hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x, X_{1,1}>X_{2,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j},\ldots,X_{1,1}>X_{m,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j})$$ W = X 1 , $Y=\max_{j=2\ldots n} X_{min,j}$$W=X_{1,1}$

Eine Erinnerung: Wenn mit pdf (cdf) ( ) iid sind , dann hat pdf und hat pdf . Damit erhalten wir das PDF von ist h H X min h min = n h ( 1 - H ) n - 1 X max h m a x = n h H n - 1 Y g ( y ) = ( n - 1 ) m f ( 1 - F ) m - 1 [ ∫ y $X_1,\ldots X_n$$h$$H$$X_{\min}$$h_{\min}=nh(1-H)^{n-1}$$X_{\max}$$h_{max}=nhH^{n-1}$
$Y$

$$g(y)=(n-1)mf(1-F)^{m-1}[\int_0^y mf(z)(1-F(z))^{m-1} dz]^{n-2},n\geq 2$$

Beachten Sie, dass eine Statistik ist, die von Gruppe 1 unabhängig ist, sodass ihre Verbindungsdichte mit jeder Variablen in Gruppe 1 das Produkt der Dichte ist. Nun wird die obige Wahrscheinlichkeit zu Indem wir die Ableitung dieses Integrals wrt und die Binomialformel verwenden, erhalten wir das PDF von . n m ≤ x 0 f ( w ) [ ≤ w 0 ≤ w y f ( x 2 , 1 ) d x 2 , 1 … ≤ w y f ( x m , 1 ) d x m , 1 g ( y ) d y ] d w = n m ≤ x 0$Y$

$$nm\int_0^x f(w)[\int_0^w \int_y^w f(x_{2,1})dx_{2,1}\ldots\int_y^w f(x_{m,1})dx_{m,1}g(y)dy]dw$$ $$=nm\int_0^x f(w)[\int_0^w (F(w)-F(y))^{m-1}g(y)dy]dw$$ $x$$X_{final}$

Beispiel: ist einheitlich, , . Dann ist$X$$n=4$$m=3$

$$g(y)=9(1-y)^2(3y+y^3-3y^2)^2,$$

$$P(X_{final}<x)=(1/55)x^{12}-(12/55)x^{11}$$ $$+ (6/5)x^{10}-(27/7)x^9+(54/7)x^8-(324/35)x^7+(27/5)x^6.$$

Der Mittelwert von beträgt und sein sd beträgt .$X_{final}$$374/455=0.822$$0.145$

Da die Zeichnungen aus einem iid-Beispiel stammen, können wir nur die ausgewählte Zeichnung betrachten. Betrachten Sie . Jetzt wissen wir, dass von und dass . Damit,$f(x) = \frac{d F(x)}{dx}$$b$$f(x)$$b>a$

$$p(b|a) = \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y) dy} \forall b>a, 0 \text{ otherwise}.$$

Das Minimum in einem Draw von zwei ist $m$

$$p_2(m) = f(m)\int_m^1f(y) dy.$$

Das größte Minimum unter 4 Ziehungen wäre

$$p(a) = p_2(a)\left[\int_0^a p_2(z) dz\right]^3 = f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3.$$

So endlich,

$$p(b) = \int_0^1 \left[u(a) \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y)dy} f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3 \right] da.$$