Das Ergebnis lässt sich mit einem Bild belegen: Die sichtbaren grauen Bereiche zeigen, dass eine gleichmäßige Verteilung nicht als Summe zweier unabhängiger gleichverteilter Variablen zerlegt werden kann.
Notation
Sei und Y so, dass X + Y eine gleichmäßige Verteilung auf [ 0 , 1 ] hat . Dies bedeutet, dass für alle 0 ≤ a ≤ b ≤ 1 ,XYX+Y[0,1]0≤a≤b≤1
Pr(a<X+Y≤b)=b−a.
Die wesentliche Unterstützung der gemeinsamen Verteilung von und Y ist daher [ 0 , 1 / 2 ] (denn sonst würde es positive Wahrscheinlichkeit , dass X + Y liegt außerhalb [ 0 , 1 ] ).XY[0,1/2]X+Y[0,1]
Das Bild
Lassen . Betrachten Sie dieses Diagramm, das zeigt, wie Summen von Zufallsvariablen berechnet werden:0<ϵ<1/4
![Zahl](https://i.stack.imgur.com/of0ZM.png)
Die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die gemeinsame für . Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses a < X + Y ≤ b ergibt sich aus der Gesamtwahrscheinlichkeit des sich zwischen den Linien x + y erstreckenden Diagonalbandes(X,Y)a<X+Y≤b und x + y = b. Drei solcher Bänder sind gezeigt: von 0 bis ϵ , die als kleines blaues Dreieck unten links erscheinen; von 1 / 2 - ε zu 1 / 2x+y=ax+y=b0ϵ1/2−ϵ , dargestellt als graues Rechteck mit zwei (gelben und grünen) Dreiecken; und von 1 - ϵ bis 1 , erscheint als kleines rotes Dreieck oben rechts.1/2+ϵ1−ϵ1
Was das Bild zeigt
Wenn man das untere linke Dreieck in der Figur mit dem unteren linken Quadrat vergleicht und die iid-Annahme für und Y ausnutzt , ist das klarXY
ϵ=Pr(X+Y≤ϵ)<Pr(X≤ϵ)Pr(Y≤ϵ)=Pr(X≤ϵ)2.
Beachten Sie, dass die Ungleichung streng ist: Gleichheit ist nicht möglich, da es eine positive Wahrscheinlichkeit gibt, dass sowohl als auch Y kleiner als ϵ sind, aber trotzdem X + Y > ϵ .XYϵX+Y>ϵ
In ähnlicher Weise wird das rote Dreieck mit dem Quadrat in der oberen rechten Ecke verglichen.
ϵ=Pr(X+Y>1−ϵ)<Pr(X>1/2−ϵ)2.
Schließlich ergibt ein Vergleich der beiden gegenüberliegenden Dreiecke oben links und unten rechts mit dem sie enthaltenden diagonalen Band eine weitere strenge Ungleichung.
2ϵ<2Pr(X≤ϵ)Pr(X>1/2−ϵ)<Pr(1/2−ϵ<X+Y≤1/2+ϵ)=2ϵ.
Die erste Ungleichung ergibt sich aus den vorherigen beiden (nimm ihre Quadratwurzeln und multipliziere sie), während die zweite die (strikte) Einbeziehung der Dreiecke in das Band beschreibt und die letzte Gleichheit die Gleichförmigkeit von ausdrückt . Die Schlussfolgerung, dass 2 ϵ < 2 ϵ der Widerspruch ist, der beweist, dass X und Y nicht existieren können, QED .X+Y2ϵ<2ϵXY