Jede reelle Matrix kann unter Verwendung einer orthogonalen Ähnlichkeitstransformation U auf die reelle Schurform T = U T A U reduziert werden . Hier ist die Matrix T quasi dreieckig mit 1 mal 1 oder 2 mal 2 Blöcken auf der Hauptdiagonale. Jeweils 1 x 1 Block entspricht einem realen Eigenwert von A und jeweils 2 x 2 Block entspricht einem Paar von konjugiert - komplexen Eigenwerte von A .
Das Problem der Neuwertumordnung besteht darin, eine orthogonale Ähnlichkeitstransformation so dass die Auswahl der Eigenwerte von A durch den Benutzer entlang der Diagonale der oberen linken Ecke von S = V T T V erscheint .
In LAPACK heißt die relevante Routine mit doppelter Genauigkeit DTRSEN. Daniel Kressner hat eine blockierte Version mit dem Namen BDTRSEN geschrieben. Die ScaLAPACK-Routine ist PDTRSEN.
Ich suche nach Anwendungen und Algorithmen, bei denen Fortschritte bei der Lösung des Problems der Eigenwertumordnung echte Vorteile haben.
Wir können leicht Testmatrizen in quasi dreieckiger Form erzeugen, aber wir haben Schwierigkeiten, die Form einer realistischen Verteilung der Eigenwertauswahl des Benutzers zu bestimmen.
Aus meiner Sicht ist die Subraumiteration mit Ritz-Beschleunigung ein idealer Algorithmus zum Testen von Verbesserungen des Neuordnungsalgorithmus. Es benötigt eine (spärliche) Matrixvektormultiplikation, einen hohen QR-Algorithmus und einen Neuordnungsalgorithmus.
Es fällt mir jedoch schwer, Probleme im wirklichen Leben zu finden, bei denen klar ist, dass eine bestimmte Menge von Eigenpaaren physikalisch interessant ist.
Wir können eine Eigenwertumordnung für dichte Matrizen der Dimension 40.000 unter Verwendung einer gemeinsam genutzten Speichermaschine durchführen. Die beste Leistung wird erzielt, wenn der Benutzer etwa 50% aller Eigenwerte auswählt.