Finite-Elemente-Methode gegen erweiterte Finite-Elemente-Methode (FEM gegen XFEM)

Was sind die Hauptunterschiede zwischen FEM und XFEM? Wann sollten wir XFEM anstelle von FEM (nicht) verwenden und umgekehrt? Mit anderen Worten, wenn ich auf ein neues Problem stoße, wie kann ich dann feststellen, welches davon verwendet wird?

— Anh-Thi DINH
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Die meiste Zeit, in der ich auf XFEM gestoßen bin, ging es um Diskontinuitäten im Zusammenhang mit Rissausbreitung und Bruch in der Festkörpermechanik. Ich habe es jedoch nicht wirklich außerhalb dieser einen Anwendung gesehen.

— Paul

Tatsächlich gibt es noch viele andere Felder, die ebenfalls XFEM zum Lösen verwenden. Das ist der Grund, warum ich wissen muss, wie ich diese Methode erkennen kann, wenn ich anfange, ein Problem zu lösen.

— Anh-Thi DINH

Antworten:

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist die übergeordnete Methode, die viele, viele andere Methoden und Methoden inspiriert hat, die eigentlich FEM sind, aber so tun, als ob sie es nicht wären.

Bei der Finite-Elemente-Methode werden "Formfunktionen" verwendet, um einen Approximationsraum bereitzustellen, so dass die Lösung durch einen Vektor dargestellt werden kann. In der klassischen FEM sind diese Formfunktionen Polynome.

Bei der erweiterten Finite-Elemente-Methode (XFEM) werden zusätzlich zu den Polynomformfunktionen zusätzliche "Anreicherungs" -Funktionen verwendet, um die Lösung zu approximieren. Diese Anreicherungsfunktionen werden so ausgewählt, dass sie Eigenschaften aufweisen, denen die Lösung bekanntermaßen folgt.

Die offensichtlichsten XFEM-Anreicherungsfunktionen sind Potenzfunktionen, die an rissscharfen Ecken eingeführt werden, um die Singularitäten im Lösungsgradienten darzustellen (dh die Singularität in der Spannung für Probleme der Festkörpermechanik). Das XFEM kann für andere Anreicherungsfunktionen und andere Lösungsdomänen (insbesondere Wärmeübertragung) verwendet werden, aber der Name ist gleichbedeutend mit Bruchanalyse.

Die Unterscheidung zwischen verschiedenen Methoden - ist dies XFEM oder nicht? Usw. - ist schwierig und subtil und unwichtig.

Für die Verwendung sieht XFEM nur sehr wenig praktischen Nutzen. Es gibt eine Handvoll Anwendungen in echten Finite-Elemente-Codes, insbesondere Abaqus, aber sie haben keine breite Akzeptanz gefunden.

Für fast alle praktischen Probleme würde die klassische FEM verwendet. Für die meisten Probleme der Bruchanalyse kann die klassische FEM immer noch mit einer geeigneten Netzverfeinerung und / oder p-Verfeinerung im Bereich der Rissspitze verwendet werden. Andere, weniger strenge Bruchmodelle können ebenfalls verwendet werden.

— Mike
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r^{α}

$r^{\alpha}$

r

$r$

0 < α < 1

$0<\alpha<1$

- 1 < α < 0

$-1<\alpha<0$ für den Stress (seine Ableitung).

— Wolfgang Bangerth

@ WolfgangBangerth, Danke! Ich habe meine Antwort so bearbeitet, dass sie "Potenzfunktionen" lautet, was ich an erster Stelle setzen wollte, obwohl es ungenau bleibt. Ich hätte fast sqrt (r) (für einen geschlossenen Riss) verwendet, um ein klareres Bild zu zeichnen, aber ich war mir nicht sicher, ob es ablenken würde. Ich weiß, dass es eine Menge weiterer Details zu einer ernsthaften XFEM-Implementierung gibt (einige habe ich studiert, andere nicht).

— Mike

@Mike: Eine andere weniger verwandte Frage ist, was ist der Unterschied zwischen P1-Bubble FEM und XFEM? Kannst du mir zeigen?

— Anh-Thi DINH

@PoBo, es gibt wenig Ähnlichkeit. Beide Methoden beinhalten das Hinzufügen von Formfunktionen, ohne das Netz zu ändern, und beide basieren auf derselben grundlegenden Mathematik, die der gesamten FEM-Familie gemeinsam ist, aber hier endet die Ähnlichkeit.

— Mike

Wenn Sie die p-Version oder den Ansatz der P1-Blasenformfunktion nicht gut verstehen, können Sie eine andere Frage der obersten Ebene versuchen oder eines der Bücher darüber aufgreifen (Szabo und Babuskas ist insgesamt ziemlich streng, aber) viel weniger als andere, die die p-Version behandeln.)

— Mike

Beide Mikes Antwort und Jeds ein gut beschreibt die XFEM / FEM Dichotomie und richtig darauf hinweisen , dass das wichtigste Anwendungsgebiet 3D Bruchmechanik ist, in dem Sie einen Riss aufweisen, dh eine Verschiebung Diskontinuität über eine Oberfläche in Ihrer Domäne.

Risse sind in der klassischen FEM aus zwei Gründen schwer zu modellieren:

Das Netz muss über den Riss kongruent sein: Genauer gesagt muss der Riss an der Grenze einer Subdomäne von FEs liegen. Der Riss kann nicht in einem finiten Element liegen.
Das singuläre Spannungsfeld an der Rissspitze erfordert, dass spezielle Elemente und / oder Vernetzungstechniken (Viertelpunktelemente, fokussiertes Netz) mit guter Genauigkeit modelliert werden.

Aus technischer Sicht in der Bruchmechanik gibt es zwei Hauptprobleme:

Berechnung des Spannungsintensitätsfaktors ,
Rissausbreitungsanalyse, z. B. bei der Ermüdungs- oder Schadenstoleranzanalyse.

Für die erste Art von Problem ist die klassische FEM mehr als ausreichend und das Standard-Engineering-Tool. (Dies liegt zum Glück daran, dass es Energiemethoden gibt, um die Spannungsintensitätsfaktoren zu bewerten, die nicht empfindlich auf numerische Fehler in der Nähe der Rissspitze reagieren.)

Die Analyse der Rissausbreitung ist eine ganz andere Geschichte: In den meisten Fällen kennen Sie den Risspfad nicht im Voraus, weshalb ein häufiges Remeshing erforderlich ist. Das Hauptversprechen von XFEM besteht darin, eine Rissausbreitung innerhalb von a zu ermöglichen festen FEM-Netzes zu ermöglichen, wobei sich der Riss nicht nur an der Grenze zwischen Subdomänen, sondern auch innerhalb der FE selbst schneidet .

XFEM ist eine relativ neue Technik, die noch lange kein Standard-Engineering-Tool ist. Meine Antwort auf die OP-Frage, zumindest in der Festkörpermechanik und der technischen Analyse, lautet, dass XFEM ein sehr enges und spezialisiertes Anwendungsfeld in der Riss- und Schadensausbreitungsanalyse für komplexe 3D-Geometrien hat, wenn der Risspfad nicht geschätzt werden kann a priori .

Lassen Sie mich dennoch betonen, dass die Bruchmechanik ein sehr wichtiges Feld in der Technik ist: ZB sind heutige Flugzeugdecker auch deshalb sicher, weil es möglich ist, Schäden und Rissausbreitung zwischen Wartungsintervallen numerisch vorherzusagen. XFEM oder ähnliche neue Techniken sollen in naher Zukunft zu wichtigen Werkzeugen werden.

— Stefano M.
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Die Bedeutung von XFEM in der Bruchmechanik wird von Ihnen allen gezeigt, aber gibt es noch andere Bereiche, in denen XFEM anstelle von klassischem FEM verwendet werden muss? Beispielsweise ändert sich beim Biofilmwachstum die Grenzfläche des Biofilms im Substrat mit der Zeit. Die Grenze ist veränderbar (bewegliche Grenze). Wenn wir die klassische FEM verwenden, muss das Netz bei jedem Zeitschritt generiert werden, stimmt das? Das ist wirklich nicht gut, besonders im 3D-Fall. Oder wenn wir 2 Phasen der Flüssigkeit mit unterschiedlichen Konzentrationsgradienten betrachten, scheint es notwendig zu sein, auch XFEM zu verwenden?

— Anh-Thi DINH

Es gibt viele Probleme, bei denen Sie freie Oberflächen oder sich bewegende Grenzen haben, die bei reinen Lagrange-Ansätzen (aufgrund häufigen Remeshing) schwierig sind. Bei XFEM geht es mehr um die Modellierung von Diskontinuitäten innerhalb von Domänen. Ich kenne Kopplungsverfahren, die die Diskontinuität nutzen, um eine sich bewegende Grenze darzustellen ... aber ich bin kein Experte auf diesen Gebieten.

— Stefano M

Eine andere weniger verwandte Frage ist, was ist der Unterschied zwischen P1-Blasen-FEM und XFEM? Kannst du mir zeigen?

— Anh-Thi DINH

Ich würde vorschlagen, eine neue Frage zu eröffnen. Kurz gesagt, P1-Blase / P1 ist ein bestimmtes finites Element (für die Lösung der Stokes-Gleichung), während XFEM ein allgemeineres Konzept ist, das die Verwendung von Anreicherungsfunktionen zur Modellierung von Diskontinuitäten unter Ausnutzung eines Partition of Unity-Ansatzes betrifft.

— Stefano M

FEM ist eine Teilmenge von XFEM. XFEM ist eine Methode zur Anreicherung von Finite-Elemente-Räumen, um Probleme mit Diskontinuitäten (z. B. Bruch) zu lösen. Bei klassischer FEM erfordert das Erreichen einer ähnlichen Genauigkeit in der Regel eine komplizierte konforme Vernetzung und adaptive Verfeinerung, wobei XFEM diese geometrische Komplexität in die Elemente verlagert (XFEM ist sehr kompliziert zu implementieren, insbesondere in 3D). Währenddessen führt XFEM zu extrem schlecht konditionierten Matrizen, die entweder direkte Löser oder sehr spezielle Multigrid-Methoden erfordern (z. B. Gerstenberger und Tuminaro (2012) ).

— Jed Brown
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Lohnt sich der Aufwand, die Komplexität vom Netz auf die Formfunktionen zu verlagern, am Ende wirklich? Beide scheinen auf die gleiche Weise kompliziert zu sein.

— Shuhalo

Wie so oft in der Computerwissenschaft kommt es darauf an, wen Sie fragen und welches Problem Sie lösen. Viele XFEM-Praktiker verwenden eine grobe Quadratur anstelle einer Quadratur, die an die Intra-Element-Diskontinuitäten angepasst ist.

— Jed Brown