Simulieren Sie die Hamilton-Evolution

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Ich versuche herauszufinden, wie man die Entwicklung von Qubits unter der Interaktion von Hamiltonianern mit Begriffen simuliert, die als Tensorprodukt von Pauli-Matrizen in einem Quantencomputer geschrieben wurden. Ich habe den folgenden Trick in Nielsens und Chuangs Buch gefunden, der in diesem Beitrag für einen Hamiltonianer der Form erklärt wird

H = Z_{1} \otimes Z_{2} \otimes . . . \otimes Z_{n}

$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$ .

Es wird jedoch nicht im Detail erklärt, wie die Simulation für einen Hamiltonianer mit Begriffen wie Pauli-Matrizen $X$ oder $Y$ funktionieren würde. Ich verstehe, dass Sie diese Pauli in Z umwandeln können, indem Sie berücksichtigen, dass $HZH = X$ wobei $H$ das Hadamard-Gate ist, und auch $S^{\dagger}HZHS =Y$ wobei $S$ das Phase $i$ Gate ist. Wie genau soll ich damit beispielsweise implementieren

H = X \otimes Y

$H= X \otimes Y$

Was ist, wenn der Hamilton-Operator jetzt die Summe der Terme mit Pauli-Matrizen enthält? Beispielsweise

H = X_{1} \otimes Y_{2} + Z_{2} \otimes Y_{3}

$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$

hamiltonian-simulation nielsen-and-chuang pauli-gates

— Pam
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H = σ_{1} \otimes σ_{2} \otimes σ_{2} \otimes \dots \otimes σ_{n}

$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$

e^{- i H t}

$e^{-iHt}$

\pm 1

$\pm 1$

H

$H$

e^{- i t}

$e^{-it}$

+ 1

$+1$

e^{- i t}

$e^{-it}$

- 1

$-1$

(\begin{array}{cc} e^{i t} & 0 \\ 0 & e^{- i t} \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$

$H=H_1+H_2$ $H_1$ $H_2$

e^{- i H t} \approx {(e^{- i H_{1} t / M} e^{- i H_{2} t / M})}^{M}

$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$

M

$M$

e^{- i H_{1} t / M}

$e^{-iH_1t/M}$

H = X \otimes Y \otimes I + Z \otimes I \otimes Y

$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$

U = \frac{Z + Y}{\sqrt{2}}

$U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$

Y

$Y$

Z

$Z$

X

$X$

(X + Z)

$(X+Z)$

(X - Z)

$(X-Z)$

(Z - X)

$(Z-X)$

- (X + Z)

$-(X+Z)$

(- 1)^{x_{2}} (X + (- 1)^{x_{3}} Z)

$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$

x_{2} x_{3}

$x_2x_3$

X + Z = \sqrt{2} H

$X+Z=\sqrt{2}H$

X \sqrt{2} H X = X - Z

$X\sqrt{2}HX=X-Z$

X

$X$

X

$X$

Insgesamt glaube ich, dass die Simulation so aussieht, als würde sie kompliziert aussehen, aber es gibt keine Aufteilung in kleine Zeitschritte, die im Laufe der Zeit Fehler ansammeln. Es wird nicht sehr oft angewendet, aber es lohnt sich, sich dieser Art von Möglichkeiten bewusst zu sein.

— DaftWullie
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Was bedeutet der Quadratwurzelfaktor mit einem Punkt - einem Tor?

— Enrique Segura

@EnriqueSegura genau das gleiche wie das andere, nach dem Sie gerade gefragt haben: ein Phasengatter mit dem beschrifteten Drehwinkel.

— DaftWullie

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$H$ $H=UDU^\dagger$ $e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

$H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$ $\sigma_i \neq I$ $i$ $H$

H = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) Z \otimes \cdot \otimes Z (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

Als Ergebnis:

e^{i t H} = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) e^{i t Z \otimes \cdot \otimes Z} (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

$e^{it Z\otimes Z}$

Wenn der Hamilton-Operator eine Summe von Pauli-Produkten ist, gibt es keine allgemeine einfache Lösung, aber Sie können die Lie-Produktformel verwenden, die auf eine große Anzahl von Begriffen abgeschnitten ist, um sie auf das obige Problem zu reduzieren.

— John
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$e^{-\Delta t H}$

— George
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