Erhalten des Gates

Ich lese gerade "Quantum Computation and Quantum Information" von Nielsen und Chuang. Im Abschnitt über Quantensimulation geben sie ein anschauliches Beispiel (Abschnitt 4.7.3), das ich nicht ganz verstehe:

Angenommen , wir haben den Hamilton - Operator

$$H = Z_1 ⊗ Z_2 ⊗ \cdots ⊗ Z_n,\tag{4.113}$$ die auf einem wirkt Qubit - System. Obwohl dies eine Interaktion ist, die das gesamte System einbezieht, kann sie tatsächlich effizient simuliert werden. Was wir uns wünschen, ist eine einfache Quantenschaltung, die implementiert.$n$$e^{-iH\Delta t}$ , für beliebige Werte von$\Delta t$ . Eine Schaltung, die genau dies für$n = 3$ ausführt, ist in Abbildung 4.19 dargestellt. Die wichtigste Erkenntnis ist, dass der Hamilton-Operator zwar alle Qubits in das System einbezieht, dies jedoch in aklassische Weise: die Phasenverschiebung auf das System angewandt ist $e^{-i\Delta t}$ , wenn die Parität der $n$ Qubits in der Berechnungsgrundlage gerade ist; ansonsten sollte die Phasenverschiebung . Somit ist eine einfache Simulation von möglich, indem zuerst die Parität klassisch berechnet wird (Speichern des Ergebnisses in einem Ancilla-Qubit), dann die entsprechende, von der Parität abhängige Phasenverschiebung angewendet und dann die Parität aufgehoben wird (um die Ancilla zu löschen).$e^{i\Delta t}$$H$

Darüber hinaus können wir durch die Erweiterung derselben Prozedur kompliziertere erweiterte Hamiltonianer simulieren. Insbesondere können wir jeden Hamiltonianer der Form effizient simulieren wobei ist Pauli-Matrix (oder die Identität), die auf das te Qubit einwirkt , wobei eines von angibt . Die Qubits, an denen die Identitätsoperation ausgeführt wird, können ignoriert werden, und oder Y- Terme können durch einzelne Qubit-Gatter in Operationen transformiert werden . Dies lässt uns mit Hamiltonian in der Form von (4.113) zurück, die wie oben beschrieben simuliert wird.

$$H = \bigotimes_{k=1}^n\sigma_{c\left(k\right)}^k,$$ $\sigma_{c(k)}^k$$k$$c(k) \in \{0, 1, 2, 3\}$$\{I, X, Y, Z\}$$X$$Y$$Z$

Wie können wir das Tor von Elementartoren erhalten (zum Beispiel von Toffoli-Toren)?$e^{-i\Delta t Z}$

Eine Möglichkeit, um Z-Rotationen mit beliebigen Winkeln durchzuführen, besteht darin, sie mit einer Folge von Hadamard- und T-Gattern zu approximieren. Wenn Sie die Annäherung benötigen maximale Fehler haben gibt es bekannte Konstruktionen , die diese grob mit tun 3 lg $\epsilon$ T-Tore. Siehe"Optimale ancillafreie Clifford + T-Approximation von z-Rotationen" von Ross et al.$3 \lg \frac{1}{\epsilon}$

Die am besten veröffentlichte Methode zur Approximation von willkürlichen Z-Rotationen, Wiederholungs-bis-Erfolg-Schaltungen , ist etwas komplizierter, erreicht jedoch einen Durchschnitt von ungefähr T-Tore.$9 + 1.2 \lg \frac{1}{\epsilon}$