Zeigen Sie, dass

Definitionen und so:

Betrachten Sie einen gefilterten Wahrscheinlichkeitsraum in dem $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$

$T > 0$ $T > 0$
$P = \tilde{P}$ $\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$

Dies ist eine risikoneutrale Maßnahme .

$F_{t} = F_{t}^{W} = F_{t}^{\tilde{W}}$ $\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$

wobei die Standard- Brownsche Bewegung ist. $W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$ $\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$

Betrachten Sie wobei $M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$

M_{t} := \frac{\exp (- \int_{0}^{t} r_{s} d s)}{P (0, t)}

$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$

Vorwärtsmaß definieren : $\mathbb Q$

\frac{d Q}{d P} := M_{T} = \frac{\exp (- \int_{0}^{T} r_{s} d s)}{P (0, T)}

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$

Dabei ist Prozess mit kurzer Rate und Anleihepreis zum Zeitpunkt t. $\{r_t\}_{t \in [0,T]}$ $\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$

Es kann gezeigt werden, dass ein Martingal ist, bei dem die Dynamik des Anleihepreises wie folgt angegeben wird: $\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$ $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

\frac{d P (t, T)}{P (t, T)} = r_{t} d t + ξ_{t} d W_{t}

$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$

und sind -angepasst $r_t$ $\xi_t$ $\mathscr F_t$
erfüllt Novikov Zustand (ich glaube nicht etwas Bestimmtes darstellen soll) $\xi_t$ $\xi_t$

Problem:

Definieren Sie den stochastischen Prozess st $W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$W_{t}^{Q} := W_{t} - \int_{0}^{t} ξ_{s} d s$ $W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$
Verwenden Sie den Girsanov-Satz, um zu beweisen:

$W_{t}^{Q} is standard Q -Brownian motion.$ $W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$

Was ich versucht habe:

Da Novikovs Bedingung erfüllt, $\xi_t$

\int_{0}^{T} ξ_{t} d t < \infty a.s. \to \int_{0}^{T} - ξ_{t} d t < \infty a.s.

$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$

\to L_{t} := \exp (- \int_{0}^{t} (- ξ_{s} d W_{s}) - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} ξ_{s}^{2} d s)

$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$

ist ein Martingal. $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

Nach dem Girsanov-Theorem

W_{t}^{Q} is standard P^{*} -Brownian motion, where

$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$

\frac{d P^{*}}{d P} := L_{T}

$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$

Ich denke, wir haben, dass Standard Brownian Motion ist, wenn wir das zeigen können $W_t^{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$

L_{T} = \frac{d Q}{d P}

$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$

Ich habe meine Notizen verloren, aber ich glaube, ich konnte das mit Itos Lemma zeigen

$d L_{t} = L_{t} ξ_{t} d W_{t}$ $dL_t = L_t \xi_t dW_t$
$d M_{t} = M_{t} ξ_{t} d W_{t}$ $dM_t = M_t \xi_t dW_t$

Daraus schließe ich das

d (\ln L_{t}) = d (\ln M_{t})

$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$

\to L_{t} = M_{t}

$\to L_t = M_t$

\to L_{T} = M_{T}

$\to L_T = M_T$

QED

Ist das richtig?

— BCLC
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Warum ist der durch den Short Rate abgezinste Anleihepreis ein P-Martingal? Ihr Anleihepreis ist ein verallgemeinerter GBM. Schreiben Sie es als Exponential einer Ito-Diffusion. Man sollte sehen, dass die Diskontierung durch die Short Rate die Ito-Korrektur nicht berücksichtigt.

— Michael

@Michael bist du sicher, dass du P als risikoneutral und nicht P als in der realen Welt meinst?

— BCLC

P_{t}

$P_t$

M_{T}

$M_T$

\frac{d L}{L}

$\frac{dL}{L}$

d \ln L

$d \ln L$

@ Michael Danke! Welcher Teil des Arguments genau?

— BCLC

(Bei genauerer Betrachtung der Frage und der verwendeten Notation scheint die Formulierung an einigen Stellen problematisch zu sein.)

Allgemeine Tatsache

$W$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ $(L_t)_{t \in [0,T]}$

\frac{d L_{t}}{L_{t}} = ψ_{t} d L_{t}, L_{0} = 1.

$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$

L_{t} = e^{\int_{0}^{t} ψ_{s} d W_{s} - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} ψ_{s}^{2} d s}

$L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$

L_{t}

$L_t$

Q

$\mathbb{Q}$

\frac{d Q}{d P} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t}^{Q} = W_{t} - \int_{0}^{t} ψ_{s} d s

$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

$W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$ $W^{\lambda}$ $\mathbb{Q}$ $L W^{\lambda}$ $\mathbb{P}$

\begin{aligned} d L W^{λ} & = L d W^{λ} + W^{λ} d L + d L d W^{λ} \\ = L (ψ + λ) d t + (\dots) d W, \end{aligned}

$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$

λ = - ψ

$\lambda = - \psi$

W^{λ}

$W^{\lambda}$

Q

$\mathbb{Q}$

Diskontierter Preis als Wahrscheinlichkeitsdichte

$S_t$

\frac{d S_{t}}{S_{t}} = r_{t} d t + σ_{t} d W_{t}

$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$

P

$\mathbb{P}$

(r_{t})

$(r_t)$

σ_{t}

$\sigma_t$

(W_{t})

$(W_t)$

$T$ $X_T$ $X_t$

\frac{d X_{t}}{X_{t}} = r_{t} d t + ψ_{t} d W_{t} .

$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$

(ψ_{t})

$(\psi_t)$

X_{t}

$X_t$

$M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$

\frac{d M_{t}}{M_{t}} = ψ_{t} d W_{t}, M_{0} = X_{0} .

$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$

T

$T$

$L_T = \frac{M_T}{M_0}$

\frac{d Q}{d P} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t} - \int_{0}^{t} ψ_{s} d s

$W_t - \int_0^t \psi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

$e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$ $T$ $X_T$ $0$ $X_0$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\frac{d X_t}{X_t}$

$(Y_t)$ $e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$ $\mathbb P$ $(\frac{Y_t}{X_t})$ $\mathbb Q$

Vorwärtsmaß

$X_t = P(t,T)$ $t$ $T$ $X_T = P(T,T) = 1$

\frac{d P (t, T)}{P (t, T)} = r_{t} d t + ξ_{t} d W_{t},

$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$

ξ_{t}

$\xi_t$

$(r_t)$ $\xi = 0$

$\mathbb Q$

\frac{d Q}{d P} = \frac{e^{- \int_{0}^{T} r_{s} d s} P (T, T)}{P (0, T)} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$

\frac{d L_{t}}{L_{t}} = ξ_{t} d W_{t},

$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t} - \int_{0}^{t} ξ_{s} d s

$W_t - \int_0^t \xi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

$M_t$ $\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$

Empirische Kommentare

$\mathbb Q$ $\mathbb Q$

$F(t,T)$ $t$ $T$

F (t, T) P (t, T) = S_{t}

$F(t,T) P(t,T) = S_t$

P

$\mathbb P$

F (t, T)

$F(t,T)$

Q

$\mathbb Q$

F (t, T) = \frac{S_{t}}{P (t, T)}

$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$

P (t, T)

$P(t,T)$

\frac{d (e^{- \int_{0}^{t} r_{s} d s} P (t, T))}{e^{- \int_{0}^{t} r_{s} d s} P (t, T)} = ξ_{t} d W_{t},

$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$

P (t, T)

$P(t,T)$

— Michael
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Vielen Dank. sooooo habe ich recht? oder nicht?

— BCLC

M_{t}

$M_t$

K danke Michael!

— BCLC