Zeigen, dass ein Marktmodell Arbitrage hat, und Beschreiben von Martingalen

Dies ist eine Übung, auf die ich beim Studium einer Einführung in die Finanzmathematik gestoßen bin.

Übung :

Betrachten Sie den endlichen Stichprobenraum und lassen Sie ein Wahrscheinlichkeitsmaß sein, so dass für alle . Wir definieren einen Finanzmarkt einer Periode, der aus dem Wahrscheinlichkeitsraum mit und den Wertpapieren die aus dem risikolosen Wertpapier und zwei risikobehafteten Wertpapieren . Ihre Werte zum Zeitpunkt sind gegeben durch den Vektor $\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}$$\mathbb P$$\mathbb P[\{\omega_1\}] > 0$$i=1,2,3$$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb P)$$\mathcal{F} := 2^\Omega$$\bar{S} = (S^0,S^1,S^2)$$S^0$$S^1,S^2$$t=0$

$$\bar{S}_0 = \begin{pmatrix} 1\\2\\7 \end{pmatrix}$$ während ihre Werte zum Zeitpunkt , abhängig davon, ob das Szenario oder , gegeben durch die Vektoren (a) Zeigen Sie, dass dieser Finanzmarkt über Arbitrage verfügt.$t=1$$\omega_1,\omega_2$$\omega_3$ $$\bar{S}_1(\omega_1) = \begin{pmatrix} 1\\3\\9\end{pmatrix}, \quad \bar{S}_1(\omega_2) = \begin{pmatrix} 1\\1\\5\end{pmatrix}, \quad \bar{S}_1(\omega_3) = \begin{pmatrix} 1\\5\\10 \end{pmatrix}$$

(b) Sei während die anderen Werte die gleichen bleiben wie zuvor. Zeigen Sie, dass dieser Finanzmarkt nicht über Arbitrage verfügt, und beschreiben Sie alle entsprechenden Martingal-Maßnahmen.$S_1^2(\omega_3) = 13$

Versuch :

(a) Wir haben, dass ein Wertprozess definiert ist als:

$$V_t = V_t^\bar{\xi} = \bar{\xi}\cdot \bar{S}_t = \sum_{i=0}^d \xi_t^i\cdot \bar{S}_t^i, \quad t \in \{0,1\}$$

Dabei ist eine Anlagestrategie, bei der die Anzahl gleich der Anzahl der Stücke aus dem Wertpapier ist im Portfolio zum Zeitpunkt .$\xi = (\xi^0, \xi) \in \mathbb R^{d+1}$$\xi^i$$S^i$$[0,1], i \in \{0,1,\dots,d\}$

Jetzt weiß ich auch, dass ich Folgendes zeigen muss, um zu zeigen, dass ein Markt Arbitrage hat:

$$V_0 \leq 0, \quad \mathbb P(V1 \geq 0) = 1, \quad \mathbb P(V_1 > 0) > 0$$

Ich verstehe, dass die verschiedenen Vektoren , um zu berechnen, aber ich kann wirklich nicht verstehen . Was wäre der Vektor?$S$$V_t$$\xi$$\xi$

Jede Hilfe für mich zu verstehen , was ist das Problem wirklich basiert und wie mein Versuch abgeschlossen wird sehr geschätzt werden.$\xi$

Für (b) zeigt, dass es nicht Arbitrage hat ähnelt (a) , wie ich will zeigen, dass eine dieser Bedingungen nicht halten. Was ist mit dem Martingal-Zeug? Es ist eine mathematische Substanz, mit der wir uns wirklich nicht befasst haben. Wenn möglich, würde ich eine Ausarbeitung sehr begrüßen.