Zählt man maximale Cliquen in einem Inkompatibilitätsdiagramm # P-complete?

Diese Frage wird durch eine MathOverflow-Frage von Peng Zhang motiviert . Valiant hat gezeigt, dass das Zählen maximaler Cliquen in einem allgemeinen Graphen # P-vollständig ist, aber was ist, wenn wir uns auf Unvergleichbarkeitsgraphen beschränken (dh, wir möchten maximale Antichains in einem endlichen Poset zählen)? Diese Frage scheint natürlich genug zu sein, dass ich vermute, dass sie schon einmal in Betracht gezogen wurde, aber ich konnte sie in der Literatur nicht finden.

— Timothy Chow
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Nach dieser Zusammenfassung für "Die Komplexität des Zählens von Schnitten und des Berechnens der Wahrscheinlichkeit, dass ein Graph verbunden ist" (SIAM J. Comput. 12 (1983), S. 777-788) ist das Zählen von Antiketten in einer Teilreihenfolge # P-vollständig. Ich habe keinen Zugang zu diesem Artikel, daher kann ich nicht sagen, ob dieses Ergebnis die maximale Anzahl an Anti-Ketten abdeckt oder nicht.

— mhum
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@ András: Ich denke, bei ihrem Ergebnis geht es um das Zählen von Antichains (die nicht unbedingt maximal sind). Es mag leicht zu erkennen sein, dass das Zählen der maximalen Antichains auch # P-vollständig ist, aber ich kann es nicht sehen.

— Tsuyoshi Ito

@ András: Es geht um maximale Antichains, nicht um Antichains mit maximaler Kardinalität. Ich habe die Reduktion in der Arbeit nicht untersucht, daher beweist ihre Reduktion möglicherweise auch die # P-Vollständigkeit der gleichzeitigen Zählung maximaler Antichains, aber zumindest handelt es sich um unterschiedliche Probleme.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Sie haben Recht, das Provan / Ball-Papier zeigt nur, dass das Zählen von Antichains mit maximaler Kardinalität # P-schwer ist. Zurück zum Zeichenbrett ...

— András Salamon

Wenn Sie sich den Beweis ansehen, werden Sie feststellen, dass die # P-Vollständigkeit für eine Klasse von Posets bewiesen ist, in der alle maximalen Antichains die gleiche Kardinalität haben. Beginnen Sie mit einem beliebigen zweigliedrigen Graphen

mit

Eckpunkten und konstruieren Sie einen zweigliedrigen Graphen

mit

Eckpunkten, indem Sie

neue Eckpunkte

und

neue Kanten

G = (V, E)

$G=(V,E)$

n

$n$

G^{'}

$G'$

2 n

$2n$

n

$n$

{v^{'} : v \in V}

$\{v' : v\in V\}$

n

$n$

. Wenn dann

und

eine Zweiteilungder Scheitelmenge von

, definieren Sie eine Posette auf

indem Sie

wenn

und

in benachbart sind

. Das beantwortet also meine Frage.

{(v, v^{'}) : v \in V}

$\{(v,v'): v\in V\}$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$

G^{'}

$G'$

V_{1} \cup V_{2}

$V_1\cup V_2$

x < y

$x<y$

x \in V_{1}

$x\in V_1$

y \in V_{2}

$y\in V_2$

x

$x$

y

$y$

G^{'}

$G'$

— Timothy Chow