Permanent einer

Sei $A$ eine $3 \times 3$ oder eine $4 \times 4$ Matrix mit Einträgen $a_{ij}$ . Kann mir jemand eine Matrix $B$ so dass $\operatorname{per}(A) = \det(B)$ ? Was ist das kleinste explizite $B$ , das bekannt ist, so dass $\operatorname{per}(A) = \det(B)$ ? Irgendwelche Hinweise dazu mit expliziten Beispielen?

Einige Einschränkungen können die folgenden Fälle sein:

Fall $(1)$ Als Einträge von sind nur lineare Funktionale zulässig $B$ .

Fall Nichtlineare Funktionale sind zulässig, vorausgesetzt, jeder Term hat höchstens einen Grad (Grad ist die Summe der Variablen), wobei die Größe der beteiligten Matrix ist. In unserem Fall bis Grad . $(2)$ $O(log(n))$ $n$ $2$

cc.complexity-theory algebraic-complexity permanent

— vs.
quelle

@vs Was sind die Einschränkungen für ? Wenn es keine gibt, ist eine Matrix mit , aber Ich vermute, dass Sie das nicht im Sinn hatten. Typischerweise erlaubt man, dass die Einträge von affine lineare Funktionen der Variablen in .

B

$B$

B = (\begin{matrix} per (A) \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix} \operatorname{per}(A)\end{pmatrix}$

1 \times 1

$1 \times 1$

det (B) = per (A)

$\det(B) = \operatorname{per}(A)$

B

$B$

A

$A$

— Tyson Williams

[BEARBEITEN]

Aus Gründen der Konsistenz habe ich die Notationen von auf umgestellt . $c(n)$ $dc(n)$
In den Kommentaren wurde von vs gefragt, ob sich meine Antwort auf höhere Dimensionen verallgemeinern lässt. Es tut und gibt eine Obergrenze über jedes Feld: Siehe meinen Entwurf dazu: Eine Obergrenze für das permanente versus das determinante Problem . $d c (n) \leq 2^{n} - 1.$ $dc(n)\le 2^n-1.$

[/BEARBEITEN]

[Ein Nebenkommentar: Ich denke, Sie könnten Ihre vorherige Frage bearbeiten, anstatt eine neue zu erstellen.]

Ich habe folgende Antwort für Sie:

per (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) = det (\begin{matrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Beachten Sie, dass ich bei der Suche nach solchen Referenzen zu expliziten Beispielen keine finden konnte. Daher ist das Beispiel, das ich Ihnen gebe, ein Beispiel, das ich erstellt habe.

Diese Frage, die Sie stellen, wird allgemein als "permanentes oder determinierendes Problem" bezeichnet. Angenommen , sind wir eine gegebene Matrix , und wir wollen die kleinste Matrix derart , dass . Lassen wir uns von bezeichnen die Abmessungen des kleinsten solchen . Hier sind historische Ergebnisse: $(n\times n)$ $A$ $B$ $\operatorname{per} A=\det B$ $dc(n)$ $B$

[Szegö 1913] $dc(n)\ge n+1$
[von zur Gathen 1986] $dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
[Cai 1990] $dc(n)\ge n\sqrt 2$
[Mignon & Ressayre 2004] 2/2 in Merkmal $dc(n)\ge n^2/2$ $0$
[Cai, Chen & Li 2008] in der Eigenschaft . $dc(n)\ge n^2/2$ $\neq 2$

Dies zeigt, dass (die Obergrenze ist die oben angegebene Matrix). $5\le dc(3)\le 7$

Da ich faul bin, gebe ich Ihnen nur eine Referenz, wo Sie die anderen finden können. Es ist das jüngste Papier, das ich von Cai, Chen und Li zitiert habe: Eine quadratische Untergrenze für das permanente und determinante Problem über jedes Merkmal $\neq 2$ .

Wenn Sie Französisch lesen, können Sie sich auch meine Folien zu diesem Thema ansehen: Permanent versus Déterminant .

— Bruno
quelle

Vielen Dank. Ich habe vergessen zu erwähnen, dass ich mit den linearen und quadratischen Untergrenzen vertraut war. Ihr Beispiel ist neu für mich und natürlich werde ich mir Ihre französischen Folien ansehen :)

— vs

Um eine Formel in eine Determinante umzuwandeln, handelt es sich um ein (klassisches?) Ergebnis von Valiant aus dem Jahr 1979. Wir erklären dieses Ergebnis in unserer Arbeit in Abschnitt 2.1 (vgl. [ Arxiv.org/abs/1007.3804] ).

— Bruno

Beachten Sie für , dass es in O (n2 ^ n) eine Konstante gibt, so dass 24 nicht der richtige Wert ist. Dennoch denke ich, dass mein Beispiel besser ist, als einfach Rysers Formel + Valiants Konstruktion anzuwenden. Dies ist ganz normal, da man sich vorstellen kann, dass es nicht der beste Weg ist, von der permanenten zu einer Formel und dann zurück zu einer Determinante zu wechseln. Ich würde nicht sagen, dass mein Beispiel "besser als das von Ryser" ist, da die Ziele nicht dieselben sind. Beachten Sie auch, dass die Formeln von Glynn oder Ryser nicht so gut sind wie die Trivialformel für , sondern nur asymptotisch.

n = 3

$n=3$

n = 3

$n=3$

— Bruno

Ich habe mir JY Cais Papier neu angesehen. Satz 3 ergibt eine bessere Grenze: .

c (n) \leq O (2^{n})

$c(n)\le O(2^n)$

— Bruno

@ Bruno: ausgezeichnete Antwort!

— Dai Le