Gröbner setzt auf TCS?

Kennt jemand interessante Anwendungen von Gröbner-Grundlagen in der theoretischen Informatik?

Gröbner-Basen werden verwendet, um Polynomgleichungen mit mehreren Variablen zu lösen, ein NP-hartes Problem im Allgemeinen. Ich habe mich gefragt, ob mit Hilfe einiger praktikabler Sonderfälle effiziente Algorithmen / Konstruktionen / Beweise in TCS- oder TCS-verwandten Bereichen (Kombinatorik, Codierungstheorie) bereitgestellt wurden.

Die Gröbner-Basisberechnung ist zwar im Allgemeinen EXPSPACE-vollständig, befindet sich jedoch in PSPACE über Booleschen Ringen. Dies hat Anwendungen in der Modellprüfung, um BDDs zu ersetzen: Quoc-Nam Tran, "Ein PSPACE-Algorithmus für die Berechnung von Groebner-Basen in Booleschen Ringen", Proc. WASET. 35, Nov. 2008, ISSN 2070-3740

[HINWEIS] Das Ergebnis, dass die Berechnung der Groebner-Basis in PSPACE über Booleschen Ringen erfolgt, scheint falsch zu sein (siehe Mark van Hoeij, Gröbner-Basis in Booleschen Ringen, nicht P-SPACE , arXiv: 1502.07220 , 2015).

[HINWEIS] Die Behauptung, dass das Ergebnis, dass sich die Groebner-Basisberechnung in PSPACE über Booleschen Ringen befindet, falsch ist, ist falsch. Der Autor verwechselt die PSPACE-Berechenbarkeit mit einer Polynomgröße. Eine PSPACE-Funktion kann eine exponentiell lange Ausgabe haben.

Es gibt einen interessanten Springer-Band über Anwendungen von Gröbner-Basen in der Codierung und Kryptographie:

• Gröbner-Basen, Codierung und Kryptographie , / Sala, M .; Mora, T .; Perret, L .; Sakata, S .; Traverso, C. (Hrsg.).

Persönlich beschäftige ich mich mit Algorithmen zur Berechnung von Idealen für Fehlerlokalisierungspolynome (ein bekanntes Konzept in der Codierungstheorie, insbesondere der Syndromdecodierung). Bei Codes aus algerischen Geometriefehlern ist ideal meist ein Polynomideal aus mehreren Variablen - hier spielen die Gröbner-Basen eine zentrale Rolle. Der für mich interessanteste Teil des oben genannten Bandes ist die Beschreibung des BMS-Algorithmus durch S. Sakata und ein Überblick über seine Anwendungen zur Decodierung algebraischer Geometriecodes.

Habe ich gerade während des 8F Workshops gehört

Der ursprüngliche Beweis, dass die Netzwerkcodierung in einem Flussnetzwerk implementiert werden kann, basiert auf Gröbner-Basen.

Gröbner-Basen wurden angewendet, um Bedingungszufriedenheitsprobleme zu lösen (siehe diese Finanzhilfe ). An diesem Punkt scheinen Gröbner-Basistechniken für die Anwendung der Beschränkungszufriedenheit nicht nützlich zu sein, da sie mit ausgereiften Suchheuristiken, Konsistenzerzwingungstechniken und effizienten Spezialzweck-Propagatoren konkurrieren - ganz zu schweigen von guten Universal-SAT-Lösern. Ich denke jedoch, dass es definitiv theoretische Verwendungen gibt, die entdeckt werden müssen, insbesondere wenn die Gröbner-Basis eine angemessene Größe hat. Siehe auch das Papier von Jefferson, Jeavons, Green und van Dongen , das auf MACIS 2007 vorgestellt wurde (Journalversion: AMAI 67 359–382, 2013, doi: 10.1007 / s10472-013-9365-7 ), in dem einige der Probleme erörtert werden .

Ich habe eine Gröbner-Basis verwendet, um einen kurzen Beweis eines neuen Dichotomiesatzes für #CSP-Probleme über 3-reguläre Graphen mit einer einzelnen binären Einschränkungsfunktion mit komplexen Gewichten zu finden ( arXiv-Version ).

$f \sim g$$\#\operatorname{CSP}(f) = \#\operatorname{CSP}(g)$

Die Gröbner-Basis wird verwendet, um aus den anfänglichen vier Variablen, die zur Definition einer Binärfunktion benötigt werden, sechs "symmetrisierte Variablen" zu konvertieren, die in jeder Äquivalenzklasse invariant sind (siehe Abschnitt D des oben verlinkten Dokuments). Die Gröbner-Basis wird in der Arbeit jedoch nicht erwähnt, da ihr einziger Zweck die automatisierte Transformation von den ersten vier Variablen in die sechs symmetrisierten Variablen in verschiedenen Polynomen war (die von Mathematicas GroebnerBasis durchgeführt wurde ).

Das folgende Papier kann als eine Anwendung angesehen werden.

• Gunnar Carlsson, Gurjeet Singh, Afra Zomorodian: Mehrdimensionale Persistenz berechnen. Journal of Computational Geometry, 1 (1) 2010, Seiten 72-100. http://jocg.org/index.php/jocg/article/view/19

Ich sehe, dass die Autoren Buchbergers Algorithmus als Subroutine verwenden und die Struktur ihres Problems ausnutzen, um zu beweisen, dass die Laufzeit polynomiell begrenzt ist.

Grant Passmore und andere schreiben darüber im Kontext von SMT-Lösern. Ich bin weder Experte für Groebner-Basen noch für SMT-Löser. Daher kann ich nur schwer beurteilen, wie gut diese Referenz Ihre Frage beantwortet.

In der Beweiskomplexität wurde die Verwendung von Gröbner-Basen von Clegg, Edmonds, Impagliazzo vorgeschlagen , um CNFs zu widerlegen. Es gibt Fälle, in denen dieses Beweissystem die Auflösung exponentiell übertrifft, aber es scheint mir nicht, dass es für allgemeine Fälle eine echte Leistungsverbesserung gibt.

$GF(2)$

Polynomial Calculus wurde jedoch nicht so gut untersucht wie Resolution, weshalb keine gut getesteten Heuristiken verfügbar sind.

Siehe auch dies zur Anwendung in der Kryptoanalyse (ich weiß nicht viel darüber).

$k$$k$

Grobner-Basen werden für die schnellsten Listendecodierungsalgorithmen für Reed-Solomon-Codes verwendet: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.320.1170&rep=rep1&type=pdf

Gröbner-Basen wurden erfolgreich eingesetzt, um wichtige Probleme der Geometrie mehrerer Ansichten in der Bildverarbeitung zu lösen .

Im Anschluss an http://arxiv.org/pdf/1502.05912.pdf werden manchmal Grobner-Grundlagen verwendet, um den Isomorphismus zu bestimmen (wenn Graphen durch Gleichungssysteme codiert werden). Dies verbindet sich jedoch mit der Verwendung der Grobner-Basis bei der Widerlegung von CNFS.