Beweise erhalten nur durch Spektralgraphentheorie

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Ich habe ein zunehmendes Interesse an der Spektralgraphentheorie, was mich fasziniert, und ich habe angefangen, einige Dokumente zu sammeln, die ich noch nicht gründlicher gelesen habe als bisher.

Ich bin jedoch neugierig auf eine Aussage, die in mehreren Quellen aufgetaucht ist (zum Beispiel dort drüben ), die im Wesentlichen besagt, dass einige Ergebnisse in der Graphentheorie nur mit spektrumbasierten Techniken bewiesen wurden, und dass es bisher keinen Beweis dafür gibt Umgeht man diese Techniken ist bekannt.

Wenn ich das nicht auslasse, kann ich mich nicht erinnern, ein solches Beispiel in der Literatur gesehen zu haben, die ich bisher gelesen habe. Kennt jemand von euch Beispiele für solche Ergebnisse?

— Anthony Labarre
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Der Titel der Frage deutet darauf hin, dass Sie Beweise verlangen, die nur mit Hilfe der Spektralgraphentheorie erhältlich sind, aber Sie fordern Beweise, die bisher nur mit Hilfe der Spektralgraphentheorie erhältlich waren. Das sind zwei völlig unterschiedliche Fragen. So wie es aussieht, ist der Titel irreführend, weshalb ich ihn geändert habe.

— Dave Clarke

@ Dave Ich habe ein Rollback

— Suresh Venkat

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Kapitel 7 der Graphenspektren von Cvetković, Doob und Sachs enthält zahlreiche Beispiele für Theoreme, deren Aussagen keine explizite Erwähnung von Spektren enthalten, die sich jedoch mit Hilfe von Spektraltechniken nachweisen lassen. Ich vermute, dass viele von diesen keinen bekannten nicht-spektralen Beweis haben, obwohl Sie dies von Fall zu Fall überprüfen müssten. In vielen Fällen verwendet der einfachste oder natürlichste Beweis Spektren.

— Timothy Chow

@ Timothy Chow: Danke, ich werde versuchen, es in meine Hände zu bekommen.

— Anthony Labarre

@ TimothyChow: Sie sollten dies eine Antwort machen, denke ich.

— Suresh Venkat

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Der Hoffman-Singleton-Satz .

— Colin McQuillan
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Hoffman-Singleton war auch mein erster Gedanke. Aber ich weiß nicht, ob es nicht-spektrale Beweise gibt und ob sie es nicht tun, weil sie zu schwierig sind oder weil es niemand versucht hat. Der Standard-Proof ist ziemlich ordentlich und prägnant, daher weiß ich nicht sofort, was die Motivation wäre, einen nicht-spektralen Proof zu erhalten.

— mhum

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Wie wäre es mit diesem Ergebnis auf Quantencomputer.

Mario Szegedy. Quantenbeschleunigung markovkettenbasierter Algorithmen. In FOCS'04.

Er erweitert Markov-Ketten auf Quanten-Markov-Ketten und zeigt, dass die Quantenschlagzeit durch die Quadratwurzel der klassischen Schlagzeit begrenzt ist. Er tut dies, indem er die Singularvektoren der klassischen Markov-Kette mit den Singularvektoren der Quanten-Markov-Kette in Beziehung setzt. Vor dieser Veröffentlichung gab es keine bekannte Beziehung zwischen Zufalls- und Quantenspaziergängen. Ich kann mir nicht vorstellen, wie ich dasselbe mit nicht-spektralen Techniken machen soll.

— Marcos Villagra
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Ich denke, dass der Freundschaftssatz (siehe auch Hunekes Aufsatz ) ein gutes Beispiel ist, obwohl es streng genommen Beweise für den Freundschaftssatz gibt, die Eigenwerte vermeiden. Die Beweise, die Eigenwerte gänzlich vermeiden, sind viel unordentlicher als der spektrale Beweis.

(Das Freundschaftstheorem besagt, dass, wenn in einem Raum von Menschen jedes Paar von Menschen genau einen gemeinsamen Freund hat, es jemanden gibt, der alle anderen kennt.)

— Timothy Chow
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$L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

x^{T} L_{H} x (1 - ϵ) \leq x^{T} L_{G} x \leq x^{T} L_{H} x (1 + ϵ) .

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Obwohl die Aussage des Theorems fraglich nicht "inhärent spektral" ist, glaube ich nicht, dass bekannt ist, wie man dieses Ergebnis oder ein Ergebnis wie dieses ohne Verwendung von Spektraltechniken erhalten kann.

— Lev Reyzin
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Es ist ein wenig umstritten, ob die Aussage nicht von Natur aus spektral ist. Im wahrsten Sinne des Wortes haben Sie Recht, aber ich kann mir nur vorstellen, warum die quadratische Form spektral auftaucht.

— Suresh Venkat

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F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Sicher - aber man kann sich vorstellen, diese Sparsifier auf eine andere Weise zu bekommen. Aber ja, dies könnte nicht das beste Beispiel sein ...

— Lev Reyzin