Explizite Polynome in 1 Variablen mit unterer Grenze der Komplexität der überlogarithmischen Schaltung?

Durch Zählen Argumente, kann man zeigen , dass es existiert Polynome vom Grad n in 1 Variable ( das heißt, etwas von der Form , die Schaltungskomplexität hat n. Man kann auch zeigen, dass ein Polynom wie mindestens Multiplikationen benötigt (Sie brauchen das nur, um einen ausreichend hohen Grad zu erreichen). Gibt es explizite Beispiele für Polynome in einer Variablen mit einer überlogarithmischen Untergrenze für die Komplexität? (Ergebnisse in jedem Bereich wären interessant) $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)$ $x^n$ $\log_2 n$

— Matt Hastings
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Haben Sie Beispiele für die Schaltungskomplexität

über ein endliches Feld? Ich verstehe nicht, wie ein Zählargument über ein unendliches Feld wirken würde, und ich bin mir ziemlich sicher, dass Paterson-Stockmeyer

n

$n$

gebunden ist eng (siehe auch meine Antwort unten).

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Joshua Grochow

Die von Ihnen erwähnte sqrt (n) -Grenze ist nur eine Obergrenze für die Anzahl der Multiplikationen (über ein beliebiges Feld). Wenn wir jedoch sowohl Additionen als auch Multiplikationen als Operationen zählen, benötigen wir für fast jedes Polynom n Operationen über ein unendliches Feld weil es im Polynom n verschiedene Koeffizienten gibt und es keine Möglichkeit gibt, alle möglichen Polynome mit weniger als n Operationen zu bewerten (ich bin mir nicht sicher, ob dies ein Zählargument genannt werden sollte oder nicht).

— Matt Hastings

\sum a_{i} x^{i}

$\sum a_i x^i$

x

$x$

a_{i}

$a_i$

a_{i}

$a_i$

Was ich meine ist: Die Schaltung besteht aus Additions- und Multiplikationsgattern. Die Eingaben für ein gegebenes Gatter können Ausgaben vorheriger Gatter oder x oder einige Konstanten sein. Die Frage ist: Können wir für ein gegebenes Polynom eine Schaltung und eine Auswahl von Konstanten in dieser Schaltung finden, um sie zu berechnen? Aber wir haben einen (n + 1) -dimensionalen Raum von Polynomen, aber wenn wir die Struktur einer Schaltung mit weniger als n Gattern festlegen (mit "Struktur" meine ich, welche Gatter verwenden Ausgaben von welchen anderen Gattern) und betrachten alle mögliche Auswahl von Konstanten Dies ergibt weniger als einen n-dimensionalen Raum von Polynomen, die berechnet werden können.

— Matt Hastings

Übrigens - der Eindruck, den ich habe, ist, dass die Konstruktion expliziter Beispiele über R oder C ohne weitere Einschränkungen der Koeffizienten größtenteils gelöst ist. Wenn Sie jedoch explizite Beispiele konstruieren, bei denen alle Koeffizienten a_i ganze Zahlen sind und nicht zu schnell wachsen, ist sie immer noch offen? Es gibt ein Beispiel mit allen Ganzzahlkonstanten in der Umfrage, die Sie erwähnen, aber sie wachsen doppelt exponentiell.

— Matt Hastings

$n$ $(a_1, \dotsc, a_n)$ $\prod_{i=1}^{n} (x - a_i)$ $\Omega(\sqrt{n})$

$\sqrt{n}$ $\sum_{i=1}^{n} 2^{2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} e^{2 \pi i / 2^{i}} x^{i}$ $\sum_{i=1}^{n} i^{r} x^{i}$ $r$

— Joshua Grochow
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Vielen Dank. Es scheint also, dass das offene Problem darin besteht, dass man, wenn man Additionen auch als Operationen zählt, ein Polynom konstruieren kann, das mehr als sqrt (n) -Operationen benötigt, mit dem Ziel, ein Polynom zu konstruieren, das n Operationen benötigt. Irgendwelche Ergebnisse dazu? (Ich bezweifle es, denn in der Methode , die nur sqrt (n) Multiplikationen benötigt, geben die Zusätze eine Matrixmultiplikation und dies reduziert wahrscheinlich Schranken für die Komplexität einer Matrix-Skalarmultiplikation zu senken)

— matt hastings