Die Komplexität, einen Borsuk-Ulam-Punkt zu finden

Das Borsuk-Ulam-Theorem besagt, dass es für jede stetige ungerade Funktion $g$ von einer n-Kugel in den euklidischen n-Raum einen Punkt $x_0$ so dass $g(x_0)=0$ .

Simmons und Su (2002) beschreiben eine Methode zur Approximation des Punktes $x_0$ Verwendung von Tuckers Lemma . Es ist jedoch nicht klar, wie komplex ihre Methode zur Laufzeit ist.

Angenommen, wir erhalten ein Orakel für die Funktion $g$ und einen Approximationsfaktor $\epsilon>0$ . Was ist die Laufzeitkomplexität (als Funktion von $n$ ) von:

1. Finden eines Punktes $x$ wie $|g(x)|<\epsilon$ ?
2. Finden eines Punktes $x$ so dass die $|x-x_0|<\epsilon$ , wenn $x_0$ ein Punkt ist, der erfüllt $g(x_0)=0$?

Papadimitriou hat gezeigt, dass eine Version dieses Problems PPAD-vollständig ist, in dem Artikel, in dem diese Klasse vorgestellt wird: "Über die Komplexität des Paritätsarguments und andere ineffiziente Existenznachweise" .

Seine Formulierung des Problems lautet:

$P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$L 1 f ( p ) f ( p ) ≤ $\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$ x| f(x)-f(-x)| ≤$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

(Nebenbemerkung - oft, wenn Sie einen Satz mit festem Punkt sehen, ist PPAD eine gute Vermutung für die Komplexität des Findens ...)

Wie wird das Orakel gegeben und was wissen wir über ? Wenn das Orakel eine Blackbox ist und wir nur wissen, dass stetig ungerade ist, dann benötigen wir bereits für unendlich viele Fragen ...g n = $g$$g$$n=1$

Wenn das Orakel von einer Turing-Maschine gegeben wird, dann bekommen Sie, dass Ihr Problem ist

1. FIXP-vollständig,

2. PPAD-vollständig,

Dabei ist die Größe der Eingabe die Länge von . Eine Einführung in diese finden Sie unter http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/dagstuhl14-etessami-tutorial-equilibrium.pdf .$\epsilon$