Eine merkwürdige Asymmetrie bei guten Charakterisierungen

Es gibt einige Theoreme, hauptsächlich in der Graphentheorie und der kombinatorischen Optimierung, die oft als gute Charakterisierungen bezeichnet werden. Sie setzen normalerweise eine Eigenschaft in , indem sie zeigen, dass eine Eigenschaft entweder hält oder dass es ein gut identifiziertes Hindernis gibt, das sie am Halten hindert. Oft werden sie als Min-Max-Theoreme dargestellt, siehe die frühere Frage Optimierungsprobleme mit guter Charakterisierung, aber ohne Polynom-Zeit-Algorithmus $NP\cap co-NP$

Hier sind zwei klassische Beispiele für gute Charakterisierungen:

Ein zweigeteilter Graph hat entweder eine Übereinstimmung der Größe oder es gibt weniger als Eckpunkte, die alle Kanten abdecken. Das Vorhandensein einer solchen Abdeckung ist ein triviales Hindernis, das das Matching ausschließt. Wenn dieses Hindernis nicht vorhanden ist, muss die Übereinstimmung vorhanden sein. Dies ist der nicht triviale Teil, der als Konigs Theorem bekannt ist. $k$ $k$
Entweder gibt es einen Fluss Wert in einem Flussgraphen, sonst gibt es einen Schnitt mit einer Kapazität von weniger als . Auch hier ist die Existenz eines solchen Schnitts ein triviales Hindernis, da dann der Fluss nicht durchkommen kann. Der nicht triviale Teil ist, dass das Fehlen des Hindernisses bereits die Existenz des Flusses des Wertes garantiert , der dem Max-Flow-Min-Cut-Theorem entspricht. $s-t$ $F$ $s-t$ $F$ $F$

Was ich an diesen (und vielen anderen) Ergebnissen merkwürdig finde, ist, dass sie eine gut sichtbare Asymmetrie in der Beweishärte zwischen den beiden Richtungen der Äquivalenz zeigen. Normalerweise ist es einfach oder sogar trivial zu beweisen, dass das Hindernis die betrachtete Eigenschaft ausschließt. Andererseits ist es viel schwieriger zu beweisen, dass das einfache / triviale Hindernis das einzige Hindernis ist, in dem Sinne, dass das Eigentum halten muss, wenn es nicht vorhanden ist.

Mir ist keine gute Erklärung bekannt, warum diese Art von Asymmetrie so häufig ist. Es erscheint nicht a priori notwendig. Hinweis: Lassen Sie sich nicht von der Tatsache irreführen, dass die obigen Beispiele beide Sonderfälle der linearen Programmierdualität sind. Es gibt andere Beispiele, die nichts mit linearer Programmierung zu tun haben.

$NP\cap co-NP$

cc.complexity-theory graph-theory co.combinatorics

— Andras Farago
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Ich würde gerne diese Beispiele sehen, die keine Sonderfälle der Dualität sind. Denn bei Ihren Beispielen sind die einfachen Richtungen eine schwache Dualität, was immer trivial zu beweisen ist, und die harten Richtungen sind eine starke Dualität, was eine tiefere Tatsache ist.

— Sasho Nikolov

Was wäre ein Beispiel für ein "nicht triviales" Hindernis?

— András Salamon

\geq k

$\geq k$

k

$k$

N P \cap c o - N P

$NP\cap co-NP$

N P = c o - N P

$NP=co-NP$

Ich denke, dies könnte eine Folge von Beweisen sein, die von Menschen gemacht wurden. Wir finden eine (einfache) Ungleichung oder Implikation und fragen, ob die andere Richtung (oder Ungleichheit) auch wahr ist.

— Nach

(Dies ist eine Antwort auf Sasho Nikolovs Kommentar, aber für das Kommentarfeld ist es viel zu lang, deshalb poste ich ihn als Antwort.)

Die beiden Beispiele in der ursprünglichen Frage sind Sonderfälle der LP-Dualität. Es gibt viele ähnliche Beispiele, aber man kann argumentieren, dass sie alle die Asymmetrie von der LP-Dualität erben. Eine schwache LP-Dualität ist leicht zu beweisen (sie stellt das "triviale Hindernis" dar), während eine starke Dualität tiefer ist, was beweist, dass das triviale Hindernis das einzige Hindernis ist. In diesem Sinne können die Beispiele, die "Kinder von LP" sind, als nur unterschiedliche Inkarnationen desselben Kernbeispiels angesehen werden.

Hier sind jedoch einige andere Fälle, die (meines Wissens) nicht mit LP zusammenhängen. Die folgenden Beispiele stammen alle aus der Graphentheorie, aber andere Felder enthalten wahrscheinlich auch ähnliche Muster.

$k, l, d$ $k$ $l$ $d$ $k\leq l \leq d$ . Da es (fast) trivial ist zu beweisen, dass diese Parameter immer die Ungleichungen erfüllen, ist die Verletzung mindestens einer Ungleichung ein triviales Hindernis für die Existenz eines solchen Graphen. Die andere Richtung, dass ein solcher Graph immer existiert, ist nicht trivial. (Siehe das Buch von Bollobas "Extremal Graph Theory", Theorem 1.5. Hinweis: Die Art und Weise, wie es dort dargestellt wird, ist etwas komplizierter und verwendet mehr Ungleichungen, da es auch einen anderen Parameter verwendet, die Anzahl der Eckpunkte. Aber diese einfachere Version kann es sein daraus extrahiert, um die wesentliche Natur zu zeigen, dass auch hier das triviale Hindernis das einzige Hindernis ist.)
$\geq 3$ $K_5$ $K_{3,n-3}$
$d_1\geq\ldots\geq d_n$ $k\geq 2$ $k$ $d_1\geq\ldots\geq d_n$ $d_n\geq k$ Dies ist auch trivial notwendig, da die Kantenkonnektivität von oben durch den Mindestgrad begrenzt ist. Sobald diese im Wesentlichen trivial notwendigen Bedingungen erfüllt sind, existiert immer der gewünschte Graph.
$G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $|E(H)|$ $|E(G)|$ $g$ $H$ $g$ $|V(G)|-1$

— Andras Farago
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