Betrachten Sie Optimierungsprobleme der folgenden Form. Sei eine polynomiell berechenbare Funktion, die eine Zeichenkette in eine rationale Zahl abbildet . Das Optimierungsproblem lautet: Was ist der Maximalwert von über Bit-Strings ?x f ( x ) n x
Nehmen wir an, dass ein solches Problem eine Minimax-Charakterisierung hat , wenn es eine andere berechenbare Polynomzeitfunktion , so dass gilt. Hier läuft über alle n- Bit-Strings, und y läuft über alle m- Bit-Strings. n und m können unterschiedlich sein, sie sind jedoch polynomial verwandt.max x f ( x ) = min y g ( y ) x n y m n m
Zahlreiche natürliche und wichtige Optimierungsprobleme weisen eine solche Minimax-Charakterisierung auf. Einige Beispiele (die Theoreme, auf denen die Charakterisierungen basieren, sind in Klammern angegeben):
Lineare Programmierung (LP Duality Thm), Maximaler Durchfluss (Max Flow Min Cut Thm), Max Bipartite Matching (Konig-Hall Thm), Max Nicht-Bipartite Matching (Tutte's Thm, Tutte-Berge-Formel), Max Disjoint Arborescences im gerichteten Graphen ( Edmond's Disjoint Branching Thm), Max Spanning Tree Packing im ungerichteten Graphen (Tutte's Tree Packing Thm), Min. Bedeckung durch Wälder (Nash-Williams Thm), Max. Gerichtete Schnittpackung ( Lucchesi-Younger Thm), Max. 2-Matroid Intersection (Matroid Intersection) Thm), Max disjunkte Pfade (Menger's Thm), Max Antichain in teilweise geordnetem Set (Dilworth Thm) und viele andere.
In all diesen Beispielen ist auch ein Polynom-Zeit-Algorithmus verfügbar, um das Optimum zu finden. Meine Frage:
Gibt es Optimierungsprobleme bei einer Minimax-Charakterisierung, für die bisher kein Polynom-Zeit-Algorithmus gefunden wurde?
Hinweis: Die lineare Programmierung befand sich ungefähr 30 Jahre in diesem Status!