Graphzerlegungen zum Kombinieren von "lokalen" Funktionen von Vertex-Beschriftungen

\sum_{x} \prod_{ich j \in E} f (x_{ich}, x_{j})

$\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

max_{x} \prod_{ich j \in E} f (x_{ich}, x_{j})

$\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

Wenn max oder sum alle Beschriftungen von , wird das Produkt für einen Graphen über alle Kanten übernommen und ist eine beliebige Funktion. Diese Größe ist bei Diagrammen mit begrenzter Baumbreite leicht zu finden und bei ebenen Diagrammen im Allgemeinen NP-schwer. Die Anzahl der korrekten Färbungen, die maximale unabhängige Menge und die Anzahl der Euler-Untergraphen sind spezielle Beispiele für das oben genannte Problem. Ich interessiere mich für polynomiale Zeitnäherungsverfahren für Probleme dieser Art, insbesondere für planare Graphen. Welche Graphzerlegungen wären sinnvoll? $V$ $E$ $G=\{V,E\}$ $f$

Edit 11/1 : Als Beispiel frage ich mich, welche Zerlegungen zu Cluster-Erweiterungen der statistischen Physik (dh Mayer-Erweiterung) analog sein könnten. Wenn schwache Wechselwirkungen darstellt, konvergieren solche Erweiterungen, was bedeutet, dass Sie eine gegebene Genauigkeit mit Ausdrücken der Erweiterung unabhängig von der Größe des Diagramms erzielen können . Würde dies nicht die Existenz von PTAS für die Menge bedeuten? $f$ $k$

Update 11.02.2011

Hochtemperaturexpansionen schreiben die Partitionsfunktion als eine Summe von Termen um, wobei Terme höherer Ordnung von Wechselwirkungen höherer Ordnung abhängen. Wenn "Korrelationen zerfallen", zerfallen Terme hoher Ordnung schnell genug, so dass fast die gesamte Masse von in einer endlichen Anzahl von Termen niedriger Ordnung enthalten ist. $Z$ $Z$

Betrachten Sie zum Beispiel für das Ising-Modell den folgenden Ausdruck seiner Partitionsfunktion

Z = \sum_{x \in X} \exp J \sum_{ich j \in E} x_{ich} x_{j} = c \sum_{EIN \in C} (Tanh J)^{| EIN |}

$Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i x_j = c \sum_{A\in C} (\tanh J)^{|A|}$

Hier ist eine einfache Konstante, eine Menge von Euler'schen Teilgraphen unseres Graphenist die Anzahl der Kanten in Subgraphen . $c$ $C$ $|A|$ $A$

Wir haben die Partitionsfunktion als Summe über Untergraphen umgeschrieben, wobei jeder Term in der Summe durch die Größe des Untergraphen exponentiell benachteiligt wird. Gruppieren Sie nun Terme mit demselben Exponenten und approximieren Sie indem Sie die ersten Terme nehmen. Wenn die Anzahl der Eulerschen Teilgraphen der Größe nicht zu schnell wächst, nimmt der Fehler unserer Approximation mit exponentiell ab . $Z$ $k$ $p$ $k$

Die ungefähre Zählung ist im Allgemeinen schwierig, aber für "Korrelationszerfall" -Instanzen einfach. Zum Beispiel gibt es im Fall des Ising-Modells einen Korrelationszerfall, wenn langsamer wächst als wobei die Anzahl der Eulerschen Teilgraphen der Größe . Ich glaube, dass in einem solchen Fall das Abschneiden der Hochtemperaturexpansion einen PTAS für ergibt $f(k)$ $(\tanh J)^k$ $f(k)$ $k$ $Z$

Ein anderes Beispiel ist das Zählen gewichteter unabhängiger Mengen - es ist für jedes Diagramm verfolgbar, wenn die Gewichtung niedrig genug ist, da Sie das Problem dazu bringen können, einen Korrelationszerfall aufzuweisen. Die Menge wird dann angenähert, indem unabhängige Mengen in Bereichen mit begrenzter Größe gezählt werden. Ich glaube, Dror Weitz 'STOC'06-Ergebnis impliziert, dass eine ungewichtete unabhängige Mengenzählung für alle Graphen mit maximalem Grad 4 möglich ist.

Ich habe zwei Familien von "lokalen" Zerlegungen gefunden - Bethe-Cluster-Graphen und Kikuchi-Region-Graphen. Bei der Zerlegung müssen Sie im Wesentlichen die Zählwerte in Regionen multiplizieren und durch die Zählwerte in Regionsüberlappungen dividieren. Das Kikuchi-Regionsgraph-Verfahren verbessert dies, indem berücksichtigt wird, dass sich Regionsüberlappungen selbst überlappen können, indem die Korrekturart "Einschluss-Ausschluss" verwendet wird.

Ein alternativer Ansatz besteht darin, das Problem in global verfolgbare Teile zu zerlegen, wie in "Variationsinferenz über kombinatorische Räume". Lokale Zerlegungen ermöglichen es Ihnen jedoch, die Approximationsqualität durch Auswahl der Bereichsgröße zu steuern

— Jaroslaw Bulatow
quelle

Was ich sagen möchte, ist zu lang für einen Kommentar (sollte es aber wirklich sein).

Wenn ich die Frage richtig lese, möchten Sie für jede der oben genannten Größen ein FPRAS (Full Polynomial Randomized Approximation Schema), das jeweils verschiedene # P-Complete-Probleme als Sonderfälle enthält. Insbesondere möchten Sie ein allgemeines FPRAS für planare Diagramme mithilfe der Clustererweiterung.

Ich bezweifle, dass dies möglich ist, weil die NP-Vollständigkeit des Existenzproblems (z. B. die richtige Färbung) impliziert, dass das entsprechende Zählproblem (z. B. die Anzahl der richtigen Färbungen) in #P in Bezug auf die AP-Reduzierbarkeit (Approximations- bewahren). Siehe Dyer, Goldberg, Greenhill und Jerrum, Algorithmica (2004) 38: 471-500.

Aber vielleicht habe ich die Frage falsch verstanden.

(Wären Sie in der Lage, dem Uneingeweihten die Bedeutung von Hochtemperaturerweiterungen zu erklären?)

— RJK
quelle

Ich habe meine Frage beantwortet

— Jaroslaw Bulatow

@Yaroslav: Danke für die ausführliche Aufklärung! Übrigens, mit "Region" meinen Sie "Vertex-Teilmenge"? (Dies ist, was ich sehe, wenn ich mir Heske, JAIR 26 (2006), 153-190, ansehe.) Es scheint also, dass Sie bestimmte FPRASs (dh mit bestimmten Wahlmöglichkeiten für f) für bestimmte Klassen (wie den Abschluss an) suchen meistens 4) von planaren Graphen unter Verwendung dessen, was Sie als "Graphenzerlegung" bezeichnen (was ein sehr überladener Begriff ist, um fair zu sein). Ist das korrekt?

— RJK

Ja, Regionen sind Scheitelpunkt-Teilmengen, und ich interessiere mich für PTAS für "traktierbare" Klassen von Diagrammen. BTW, ist hier ein ausgearbeitetes Beispiel einer Cluster - Zerlegung unabhängige Sätze zu zählen , die ich denken kann , in PTAS für Instanzen mit Korrelation Zerfall gedreht werden - yaroslavvb.blogspot.com/2011/02/...

— Yaroslav Bulatov