Komplexität der Zählung von Graphendomorphismen

Ein Homomorphismus aus einem Graphen an einen Graph G ' = ( V ' , E ' ) ist eine Abbildung f von V auf V ' , so daß , wenn x und y benachbart sind , in E dann f ( x ) und f ( y ) sind in E ' benachbart . Ein Endomorphismus eines Graphen $G = (V, E)$$G' = (V', E')$$f$$V$$V'$$x$$y$$E$$f(x)$$f(y)$$E'$$G$ist ein Homomorphismus von zu sich selbst; es ist festpunktfrei, wenn es kein x gibt, so dass f ( x ) = x ist, und es ist nicht trivial, wenn es nicht die Identität ist.$G$$x$$f(x) = x$

Ich habe kürzlich eine Frage gestellt, die sich auf Poset- (und Graph-) Automorphismen bezieht, dh auf bijektive Endomorphismen, deren Umkehrung auch ein Endomorphismus ist. Ich fand verwandte Arbeiten zum Zählen (und Entscheiden der Existenz von) Automorphismen, aber bei der Suche konnte ich keine Ergebnisse im Zusammenhang mit Endomorphismen finden.

Daher meine Frage: Wie komplex ist es angesichts eines Graphen , über die Existenz eines nicht trivialen Endomorphismus von G zu entscheiden oder die Anzahl der Endomorphismen zu zählen? Gleiche Frage bei festpunktfreien Endomorphismen.$G$$G$

Ich denke, das in dieser Antwort gegebene Argument erstreckt sich auf Endomorphismen und rechtfertigt, dass der Fall von gerichteten zweigeteilten Graphen oder Posets nicht einfacher ist als das Problem für allgemeine Graphen (das Problem für allgemeine Graphen reduziert sich auf diesen Fall), aber seine Komplexität nicht scheinen einfach zu bestimmen. Es ist bekannt, dass die Entscheidung über die Existenz eines Homomorphismus von einem Diagramm zum anderen NP-schwer ist (dies ist klar, da es die Farbgebung des Diagramms verallgemeinert), aber es scheint, als würde die Beschränkung der Suche auf Homomorphismen von einem Diagramm auf sich selbst das Problem erleichtern. Das hilft mir also nicht, die Komplexität dieser Probleme zu bestimmen.

Das Zählen von Endomorphismen oder festpunktfreien Endomorphismen ist für vollständig : Betrachten Sie bei einem verbundenen Graphen G den Graphen G ', der die disjunkte Vereinigung von G und einem Dreieck ist. Dann | Ende ( G ' ) | = ( | Ende ( G ) | + # 3 C O L ( G ) ) ( # { Dreiecke in  G } + 3 3$\mathsf{FP}^{\mathsf{\# P}}$$G$$G'$$G$$|\text{End}(G')| = (|\text{End}(G)| + \# 3COL(G))(\#\{\text{triangles in } G\} + 3^3)$, So mit zwei endomorphism Zählwerte (und durch ein allgemeines Ergebnis, auch nur ein genügt) und einig Poly-time Nachverarbeitung berechnet werden kann. Beachten Sie, dass die Anzahl der Dreiecke in kubischer (oder sogar Matrixmultiplikations-) Zeit gezählt werden kann. Die gleiche Gleichung gilt für freie Endomorphismen mit festem Punkt, da die 3-Farben und Dreiecke feste Endomorphismen ohne festen Punkt von G 'sind .$\# 3COL$$G'$

Wenn Sie möchten, dass verbunden wird, können Sie wie folgt vorgehen. Beachten Sie zunächst, dass das Zählen von Scheitelpunkt-farbigen Diagrammendomorphismen (wobei Scheitelpunkte der Farbe c nur auf andere Scheitelpunkte der Farbe c abgebildet werden können ) dem Zählen von Diagrammendomorphismen wie folgt entspricht. Die Farben seien { 1 , . . . , C } . Addiere für jeden Scheitelpunkt v der Farbe c in einem neuen disjunkten ungeraden Zyklus C v der Größe mindestens n + 2 c ( n = | V $G'$$c$$c$$\{1,...,C\}$$v$$c$$C_v$$n + 2c$) und verbinde einen Scheitelpunkt von C v mit v . Jeder Endomorphismus von G entspricht 2 n Endomorphismen des neuen Graphen (für jeden Zyklus haben Sie zwei Möglichkeiten, ihn abzubilden). Beachten Sie, dass keine Scheitelpunkte von G Scheitelpunkten von C v zugeordnet werden können , da die Zyklen zu groß sind (Sie müssten in der Lage sein, einen Zyklus in einen anderen zu passen, was für ungerade Zyklen nicht möglich ist).$n=|V(G)|$$C_v$$v$$G$$2^n$$G$$C_v$

$G'$$G$$\Delta$$v_0$$G \cup \Delta$$v_0$