Ich weiß nicht, wo dies zum ersten Mal bewiesen wurde, aber da EdgeCover einen Ausdruck als boolesches Domain-Holant-Problem hat, ist er in vielen Holant-Dichotomiesätzen enthalten.
EdgeCover ist im Dichotomiesatz in (1) enthalten. Satz 6.2 (in der Journalversion oder Satz 6.1 im Vorabdruck) zeigt, dass EdgeCover gegenüber planaren 3-regulären Diagrammen # P-schwer ist. Um dies zu sehen, lautet der Ausdruck für EdgeCover als Holant-Problem bei 3-regulären Diagrammen (oder ersetzen Sie durch mit 1 für das gleiche Problem über reguläre Graphen). Diese -Notation listet die Ausgabe einer symmetrischen Funktion auf[ 0 , 1 , 1 , 1 ] [ 0 , 1 , … , 1 ] k k [ 0 , 1 , 1 , 1 ]Holant([0,1,1,1])[0,1,1,1][0,1,…,1]kk[0,1,1,1]in der Reihenfolge der Eingabe Hamming Gewicht. Für eine Teilmenge der gesetzten Kanten (die wir als 1 zugewiesen und die Komplementmenge als 0 zugewiesen betrachten) besteht die Einschränkung an jedem Scheitelpunkt darin, dass mindestens eine Kante 1 zugewiesen wird, was genau die Funktion ist . Für eine feste Teilmenge von Kanten ist ihr Gewicht das Produkt der Ausgaben von an jedem Scheitelpunkt. Wenn ein Scheitelpunkt nicht abgedeckt ist, trägt er den Faktor . Wenn alle Scheitelpunkte abgedeckt sind, tragen alle Scheitelpunkte einen Faktor von , sodass das Gewicht ebenfalls beträgt[ 0 , 1 , 1 , 1 ] 0 1 1[ 0 , 1 , 1 , 1 ][ 0 , 1 , 1 , 1 ]011. Dann muss der Holant über jede mögliche Teilmenge von Kanten summieren und das Gewicht addieren, das jeder Teilmenge entspricht. Dieser Holant-Wert ist genau der gleiche, wenn wir jede Kante unterteilen und die Bedingung auferlegen, dass beide einfallenden Kanten für diese neuen Scheitelpunkte gleich sein müssen. Unter Verwendung der symmetrischen Funktionsnotation ist diese binäre Gleichheitsfunktion . Dieser Graph ist zweiteilig. Die Scheitelpunkte in einem Teil haben die Einschränkung , während die Scheitelpunkte im anderen Teil die Einschränkung . Der Ausdruck dafür als Holant-Problem lautet . Dann können Sie selbst die Zeile " " und die Spalte " "[ 0 , 1 , 1 , 1 ] [ 1 , 0 , 1 ] Holant ( [ 0 , 1 , 1 , 1 ] | [ 1 , 0 , 1 ] ) [ 0 , 1 , 1 , 1 ] [ 1 , 0 , 1 ][ 1 , 0 , 1 ][ 0 , 1 , 1 , 1 ][ 1 , 0 , 1 ]Holant( [ 0 , 1 , 1 , 1 ] | [ 1 , 0 , 1 ] )[ 0 , 1 , 1 , 1 ][ 1 , 0 , 1 ]"der Tabelle in der Nähe des oben genannten Theorems enthält" H ", was bedeutet, dass das Problem # P-schwer ist, auch wenn der Eingabediagramm planar sein muss.
Randnotiz: Beachten Sie, dass Pinyan Lu sowohl Autor dieses Papiers als auch des ersten Papiers ist, das Sie zitieren. Ich vermute, dass sie implizit (1) zitierten, als in ihrem Artikel stand, dass das Zählen von Kantenabdeckungen ein # P-vollständiges Problem ist, selbst wenn wir die Eingabe auf 3 reguläre Diagramme beschränken. Sie haben wahrscheinlich nicht erwähnt, dass die Härte auch dann gilt, wenn sie weiter auf ebene Graphen beschränkt ist, da ihr FPTAS diese Einschränkung nicht benötigt.
Spätere Holant-Dichotomie-Theoreme, wie sie in (2,3) - Konferenz- und Zeitschriftenversionen desselben Werks - vorkommen, haben mehr bewiesen. Satz 1 (in beiden Versionen) besagt, dass EdgeCover über planaren regulären Graphen für # P-hart ist . Um dies zu sehen, müssen wir eine holographische Transformation anwenden. Wie oben beschrieben, lautet der Ausdruck für EdgeCover als Holant-Problem über regulären Graphen , wobei 1 enthält . Außerdem entspricht dies . Nun wenden wir eine holographische Transformation durchk ≥ 3 k Holant ( [ 0 , 1 , … , 1 ] ) [ 0 , 1 , … , 1 ] k Holant ( [ 1 , 0 , 1 ] | [ 0 , 1 , … , 1 ] ) T = [ 1 e π i / k 1 0 ]kk ≥ 3kHolant( [ 0 , 1 , … , 1 ] )[ 0 , 1 , … , 1 ]kHolant([1,0,1]|[0,1,…,1])T=[11eπi/k0](oder umgekehrt, abhängig von Ihrer Perspektive). Nach Valiant's Holant Theorem (4,5) ändert dies nichts an der Komplexität des Problems (tatsächlich sind beide Probleme dasselbe Problem, da sie sich auf die Ausgabe jeder Eingabe einigen ... nur der Ausdruck des Problems hat sich geändert ). Der alternative Ausdruck für dieses Problem lautet
= k k [ 2 ,
Holant([1,0,1]T⊗2|(T−1)⊗k[0,1,…,1])=Holant([2,eπi/k,e2πi/k]|=k),
wobei die Gleichheitsfunktion für Eingänge ist. Um Theorem 1 anzuwenden, müssen wir auf normieren durch Teilen der ursprünglichen Funktion durch , was die Komplexität des Problems nicht ändert, da dieser Wert ungleich Null ist. Dann sind die Werte und in der Aussage des Theorems und . Für
=kk[2,eπi/k,e2πi/k][2e−πi/k,1,eπi/k]eπi/kXYX=2Y=−2k−1k≥3kann man überprüfen, ob dieses Problem, also auch EdgeCover, über planaren regulären Graphen für # P-hart ist .
kk≥3
Randnotiz: Diesen Satz und Beweis kann man auch in der These von Michael Kowalczyk sehen .
Ich werde meine Literatursuche fortsetzen, um zu sehen, dass EdgeCover vor (1) als # P-schwer eingestuft wurde.
(1) Holographische Reduktion, Interpolation und Härte von Jin-Yi Cai, Pinyan Lu und Mingji Xia ( Zeitschrift , Preprint ).
(2) Eine Dichotomie für rechtwinklige Graphen mit -Vertex-Zuweisungen und reellen Kantenfunktionenk{0,1} von Jin-Yi Cai und Michael Kowalczyk.
(3) Partitionsfunktionen auf Regelgraphen mit -Vertex-Zuweisungen und reellen Kantenfunktionenk{0,1} von Jin-Yi Cai und Michael Kowalczyk.
(4) Holographische Algorithmen von Leslie G. Valiant
(5) Valiant's Holant Theorem und Matchgate Tensoren von Jin-Yi Cai und Vinay Choudhary