Sei eine Boolesche Funktion. Wenn es eine Polynomdarstellung P hat, dann hat es eine mehrlineare Polynomdarstellung Q des Grades deg Q ≤ deg P : Ersetze einfach jede Potenz x k i , wobei k ≥ 2 ist , durch x i . Wir können uns also auf mehrlineare Polynome beschränken.f: { 0 , 1}n→ { 0 , 1 }PQ.degQ ≤ GradPxkichk ≥ 2xich
Claim: Die Polynome , als Funktionen { 0 , 1 } n → R eine Grundlage für den Raum aller Funktionen bilden { 0 , 1 } n → R .{ ∏ich ∈ sxich: S⊆ [ n ] }{ 0 , 1 }n→ R{ 0 , 1 }n→ R
Beweis: Wir zeigen zunächst, dass die Polynome linear unabhängig sind. Nehmen wir an, dass für alle ( x 1 , ... , x n ) ∈ { 0 , 1 } n . Wir beweisen durch (starke) Induktion am | S | dass c S = 0 . Angenommen, c T = 0 für alle | Tf= ∑ScS∏ich ∈ sxich= 0( x1, … , Xn) ∈ { 0 , 1 }n| S|cS= 0cT= 0 , und lassen Sie uns eine Menge S der Kardinalität k gegeben werden . Für alle T ⊂ S wissen wirdaß durch Induktion c T = 0 , und so 0 = f ( 1 S ) = c S , wobei 1 S der Eingang istdie 1 auf den Koordinaten von S .| T| <kSkT⊂ ScT= 00 = f( 1S) = cS1S1S □
Die Behauptung zeigt, dass die mehrlineare Darstellung einer Funktion eindeutig ist (in der Tat muss f nicht einmal 0 / 1- bewertet sein). Die eindeutige mehrlineare Darstellung von OR ist 1 - ∏ i ( 1 - x i ) mit dem Grad n .f: { 0 , 1 }n→ { 0 , 1 }f0 / 11−∏i(1−xi)n