Ist die Summe der DAG-Teilmengen annähernd?

Wir erhalten einen gerichteten azyklischen Graphen mit einer jedem Scheitelpunkt zugeordneten Zahl ( ) und einer Zielzahl .g : V → N T ≤ $G=(V,E)$$g:V\to \mathbb{N}$$T\in \mathbb{N}$

Das DAG-Teilmengen-Summenproblem (möglicherweise unter einem anderen Namen vorhanden, eine Referenz ist ) fragt, ob Eckpunkte , sodass und ist ein Weg in .$v_1,v_2,...,v_k$$\Sigma_{v_i}g(v_i) = T$$v_1\to..\to v_k$$G$

Dieses Problem ist trivial NP-vollständig, da der vollständige transitive Graph das klassische Teilmengen-Summenproblem ergibt.

Ein Näherungsalgorithmus für das DAG-Teilmengen-Summenproblem ist ein Algorithmus mit den folgenden Eigenschaften:

1. Wenn es einen Pfad mit der Summe T gibt, gibt der Algorithmus TRUE zurück.
2. Wenn es für einige keinen Pfad gibt, der zu einer Zahl zwischen und summiert , gibt der Algorithmus FALSE zurück.$(1 − c)T$$T$$c\in (0,1)$
3. Wenn es einen Pfad gibt, der zu einer Zahl zwischen und summiert , kann der Algorithmus irgendeine Antwort ausgeben.$(1 − c)T$$T$

Es ist bekannt, dass die Teilmengensumme in Polynomzeit für alle approximierbar ist .$c>0$

Gilt das auch für DAG-Subset-Sum?

Es scheint mir, dass der pseudo-polynomielle Algorithmus zur zeitdynamischen Programmierung für das Teilmengen-Summen-Problem auch für dieses Problem funktioniert. Für jeden Scheitelpunkt , berechnen wir die Menge L i alle möglichen Werte von Pfaden , die aus zumin beendet v i . Dann haben wir die Rekursion: L i = { g ( v i ) } ∪ { x + g ( v i ) | x ∈ ⋃ j ∈ p r e c ( i )$v_i$$L_i$$v_i$ . Nach einer topologischen Reihenfolge werden alle L $L_i=\{g(v_i)\}\cup\{x+g(v_i)\mid x\in \bigcup_{j\in prec(i)} L_j\}$$L_i$$O(Km)$$K$$m$

Ich denke, die Standard-Skalierung und -Rundung kann auch angewendet werden, um ein FPTAS abzuleiten.