Kann ein natürliches Graphproblem allgemein schwierig sein?

Gibt es ein natürliches vollständiges Graphproblem, das vollständig bleibt, selbst wenn es auf eine in der Polynomzeit erkennbare Graphklasse beschränkt ist? Um degenerierte Fälle zu vermeiden, betrachten wir nur dichte Graphenklassen, in denen die Anzahl der nicht isomorphen Vertex-Graphen exponentiell mit wächst . $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\leq n$ $n$

Anmerkungen:

(1) Sowohl eine "Ja" - als auch eine "Nein" -Antwort wäre sehr interessant. Wenn die Antwort ja lautet, hätten wir eine natürliche -vollständige Grapheneigenschaft, die als universell hart bezeichnet werden könnte, da sie die Härte auch dann beibehält, wenn sie auf eine vernünftige Graphklasse beschränkt ist. Wenn die Antwort Nein lautet, würde dies bedeuten, dass jede natürliche -vollständige Diagrammeigenschaft für eine nichttriviale Diagrammklasse einfach gemacht werden kann. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

(2) Es ist wichtig, nur polynomialzeiterkennbare Graphklassen zu berücksichtigen, um auszuschließen, dass die Härte der Eigenschaft einfach auf die Klasse verschoben wird. Beispielsweise wird die 3-FARBBARKEIT trivial, wenn sie auf 3-färbbare Diagramme beschränkt wird.

— Andras Farago
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Das Finden einer 4-Färbung eines 3-färbbaren Graphen ist NP-hart.

— Mohammad Al-Turkistany

Beantwortet das deine Frage? NP-harte Probleme auf Wegen

— Mohammad Al-Turkistany

warum fragst du nach einem "natürlichen" Problem? Hast du die Antwort im Allgemeinen?

— Denis

Eine Klarstellung: Was meinst du mit "jeder vernünftigen Graphklasse" genau? Meinen Sie damit, dass die Klassenmitglieder in Polynomzeit erkannt werden können? Sind beispielsweise Pfade oder

(die Klasse von Graphen ohne Kanten) oder eine Klasse mit einer endlichen Anzahl von Mitgliedern sinnvoll?

G = {V, \emptyset}

$G = \{ V, \emptyset \}$

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi Es wird angegeben, dass die Klasse dicht sein muss, damit Diagramme ohne Kanten und alle "sehr kleinen" Klassen ausgeschlossen werden.

— Denis

Die Definition von "natürlich" ist etwas verschwommen, aber es gibt einen trivialen Grund, warum die Antwort hier wahrscheinlich "nein" ist. Angenommen , im Gegenteil , dass es ein solches Problem, . Wenn nur auf die erste Komponente des bereitgestellten Graphen einwirkt, ist für die Klasse von Graphen einfach, bei der die erste Komponente eine Instanz von und die zweite Komponente ein Zertifikat von codiert , das die erste Komponente enthält. Ferner ist diese Klasse von Graphen polytime erkennbar. Dies gilt auch dann, wenn wir einen Teil des Diagramms als "Dies ist ein Zertifikat und nicht Teil der Problemkomponente" bezeichnen können, in dem Sinne, dass wir dieses Zertifikat einschleichen können, ohne die wahre Antwort zu beeinflussen. $P$ $P$ $P$ $P$ $P$

Die meisten "natürlichen" Probleme erlauben, soweit ich das beurteilen kann, die Bezeichnung eines solchen Teils des Diagramms. Hier einige Beispiele

Max Clique: Stellen Sie einfach sicher, dass der Zertifikatteil des Diagramms keine große Clique hat (z. B. codieren Sie ihn mit einem Matching).
Hamilton-Pfad: Der Endknoten wird durch ein Zertifikatdiagramm ersetzt, das über einen eigenen leicht zu findenden Hamilton-Pfad verfügt
Hamilton-Schaltung: Wie Hamilton-Pfad, außer dass ein bestimmter Scheitelpunkt durch einen Zertifikatsgraphen ersetzt wird, der einen Hamilton-Zyklus enthält
Maximaler Schnitt: Dies wirkt sich nicht auf die Lösung aus, solange der Rest des Diagramms keine Kanten aufweist. Wir stellen daher nur sicher, dass der maximale Schnitt hier leicht zu finden ist (z. B. codieren wir mit einem Matching).
Vertex-Abdeckung: Das Zertifikat wird erneut durch einen Abgleich codiert

Wir stellen sicher, dass der Zertifikatsteil des Diagramms als solches gekennzeichnet ist, damit er im Rest des Diagramms nicht verloren geht (obwohl es für die meisten "natürlichen" Probleme wahrscheinlich einfach genug ist, sie implizit über die Diagrammstruktur zu bestimmen).

$P=NP$

— Yonatan N.
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