Können wir entscheiden, ob eine bleibende Karte eine eindeutige Laufzeit hat?

Angenommen, wir erhalten eine nxn-Matrix M mit ganzzahligen Einträgen. Können wir in P entscheiden, ob es eine Permutation so dass wir für alle Permutationen ?$\sigma$$\pi\ne\sigma$$\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)}$

Bemerkungen. Man kann das Produkt natürlich durch eine Summe ersetzen, das Problem bleibt gleich.

Wenn die Matrix nur 0/1 Einträge haben kann, dann bekommen wir das Bipartite-UPM-Problem, das sogar in NC ist.

Bearbeiten: Die Entscheidung, ob der kleinste Begriff eindeutig ist, ist NP-schwer, wenn wir randomisierte Reduktionen zulassen. Eigentlich wollte ich diese Frage stellen, weil sie zur Lösung dieser Frage beigetragen hätte . Nun stellte sich heraus, dass dies NP-vollständig ist, also lassen Sie mich die Reduktion auf unser Problem skizzieren. Stellen Sie sich vor, die Eingabe ist eine Null-Eins-Matrix (wir können das annehmen) und ersetzen Sie die Null-Einträge durch zufällige reelle Zahlen zwischen 2 und 2 + 1 / n. Nun ist in dieser neuen Matrix mit hoher Wahrscheinlichkeit der kleinste Term genau dann eindeutig, wenn die ursprüngliche Matrix für die Form des oberen Dreiecks durchlässig ist.

Bearbeiten: Ähnliche Fragen:

Gibt es in einem kantengewichteten Graphen einen Hamilton-Zyklus mit einer eindeutigen Gewichtung?

Wenn wir einen CNF mit Gewichten haben, die jeder Variablen / befriedigenden Zuweisung zugewiesen sind, gibt es dann eine eindeutige gewichtsbefriedigende Zuweisung?

Diese sind natürlich mindestens NP-hart. Entsprechen diese Probleme dem Original oder sind sie schwerer?

Nettes Problem! Es ist nicht schwer, eine Reduktion zu geben, die zeigt, dass man, wenn man das Problem lösen könnte, auch das folgende Problem lösen könnte: ISOLATED SUBSET SUM:

Gegebene ganze Zahlen a ₁ , ..., a _n , gibt es eine Teilmenge S von a _i , deren Summe von keiner anderen Teilmenge geteilt wird?

Die Reduktion funktioniert, indem zuerst die ISOLATED SUBSET SUM auf ISOLATED PERFECT MATCHING reduziert wird. Wenn ein gewichteter zweigliedriger Graph G gegeben ist, möchten wir eine perfekte Übereinstimmung finden, deren Gewicht von keiner anderen perfekten Übereinstimmung geteilt wird. Diese Reduktion ist einfach: Erstellen Sie für jedes i einen 2 × 2-vollständigen Teilgraphen G _i in G, so dass die für G _i gewählte der beiden möglichen Übereinstimmungen unsere Wahl codiert, ob ein _i in der Menge S enthalten ist oder nicht .

Reduzieren Sie als Nächstes ISOLATED PERFECT MATCHING wie folgt auf Ihr Problem:

1. Für alle i, j, wenn die Kante (i, j) existiert und das Gewicht w _{ij hat} , dann setze M _ij : = exp (w _ij ). (Dies macht die Summen zu Produkten.)
2. Für alle i, j, wenn die Kante (i, j) nicht existiert, dann setze M _ij : = 0.
3. Fülle M auf, um sicherzustellen, dass es zwei oder mehr Permutationen π gibt, so dass Π M _{i, π (i)} = 0. (Dies _schließt falsche Lösungen aus, die keiner perfekten Übereinstimmung in G entsprechen.)

Jetzt fühlt sich ISOLATED SUBSET SUM mit Sicherheit mindestens NP-hart an, und vielleicht ist es sogar noch schwieriger (die offensichtliche Obergrenze ist nur Σ ₂ P)! Darüber hinaus könnte man vielleicht mit einer randomisierten Reduktion nach Valiant-Vazirani-Art beweisen, dass ISOLATED SUBSET SUM NP-hart ist. Dies ist jedoch eine Herausforderung, die ich jemand anderem überlasse ...