Parametrisierte Komplexität des Schlagsets in endlicher VC-Dimension

Ich interessiere mich für die parametrisierte Komplexität des sogenannten d-dimensionalen Schlagsets-Problems: bei gegebenem Bereichsraum (dh einem festgelegten System / Hypergraph) S = (X, R) mit einer VC-Dimension von höchstens d und a positive ganze Zahl k, enthält X eine Teilmenge der Größe k, die jeden Bereich in R trifft? Die parametrisierte Version des Problems wird mit k parametrisiert.

Für welche Werte von d ist das Problem der d-dimensionalen Schlagmenge

• in FPT?
• in W [1]?
• W [1] -hard?
• W [2] -hard?

Was ich weiß, kann wie folgt zusammengefasst werden:

• Das eindimensionale Schlagset ist in P und daher in FPT. Wenn S die Dimension 1 hat, ist es nicht schwierig zu zeigen, dass entweder eine Treffermenge der Größe 2 vorliegt oder die Inzidenzmatrix von S vollständig ausgeglichen ist. In beiden Fällen können wir eine minimale Treffermenge in Polynomzeit finden.

• Das 4-dimensionale Schlagset ist W [1] -hart. Dom, Fellows und Rosamond [PDF] bewiesen W [1] -Härte für das Problem, achsparallele Rechtecke in R ^ 2 mit achsparallelen Linien zu stechen. Dies kann als Schlaggarnitur in einem Bereichsraum der VC-Dimension 4 formuliert werden.

• Wenn d nicht eingeschränkt ist, haben wir das Standard-Schlagsatzproblem, das W [2] -vollständig und NP-vollständig ist.

• Langerman und Morin [citeseer link] geben FPT-Algorithmen für Set Cover in eingeschränkter Dimension an, obwohl ihr Modell der begrenzten Dimensionalität nicht mit dem Modell identisch ist, das durch die begrenzte VC-Dimension definiert ist. In ihrem Modell scheint beispielsweise das Problem des Treffens von Halbräumen mit Punkten nicht enthalten zu sein, obwohl das Prototypproblem für ihr Modell dem Treffen von Hyperebenen mit Punkten äquivalent ist.

Ich denke, dieses Problem ist zu schwer. Wir kennen die Antwort auf viel einfachere Probleme in dieser Familie nicht. Wenn zum Beispiel eine Menge von n Punkten in der Ebene und eine Menge von (sagen wir n) Einheitsscheiben gegeben sind, entscheiden Sie, ob es eine Abdeckung der Punkte durch k der Einheitsscheiben gibt. Hierfür gibt es einen einfachen n ^ O (k) -Zeitalgorithmus, und es würde mich nicht wundern, wenn man mit bekannten Einsichten n ^ O (sqrt {k}) ausführen kann (aber auch das ist nicht offensichtlich), aber f ( k) * n ^ {O (1)} ist offen und in der Tat sehr interessant. Eine (1 + eps) -Näherung ergibt sich aus der Arbeit von Mustafa und Ray http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1542362.1542367 .

Übrigens kann man für die kontinuierliche Version, bei der jede Einheitsplatte zulässig ist, das Problem in n ^ {O (k)} Zeit lösen. Ein PTAS ist in diesem Fall auch mit verschobenen Gittern ziemlich einfach.

Wir adressieren diese Frage in einem neuen Preprint: http://arxiv.org/abs/1512.00481

Schlagsatz in Hypergraphen mit niedriger VC-Dimension (Karl Bringmann, László Kozma, Shay Moran, NS Narayanaswamy).

Es stellt sich heraus, dass Hitting Set bereits W [1] -hart ist, wenn die VC-Dimension gleich 2 ist.

Die Arbeit Dániel Marx: Effiziente Approximationsschemata für geometrische Probleme . ESA 2005: 448-459 ist ziemlich relevant.