Alternative Beweise der Schwartz-Zippel-Deckspelze

Mir sind nur zwei Beweise für die Schwartz-Zippel-Deckspelze bekannt. Der erste (häufigere) Beweis ist im Wikipedia-Eintrag beschrieben . Der zweite Beweis wurde von Dana Moshkovitz entdeckt.

Gibt es noch andere Beweise, die ganz andere Ideen verwenden?

Hier ist eine andere Idee, die ich für einen geometrischen Beweis hatte. Es nutzt die projektive Geometrie in einer wesentlichen Weise.

Lassen Sie $c \in \mathbb F^m$ ein affiner Punkt außerhalb der Hyperfläche $S$ . Projizieren Sie die Hyperfläche mit $c$ als Mittelpunkt im Unendlichen auf die Hyperebene . das heißt, jede Karte $x \in S$ auf $p(x)$ , den Schnittpunkt der Linie , die durch einzigartige $c$ und $x$ mit der Hyperebene im Unendlichen. Die Vorbilder unter $p$ eines Punktes im Unendlichen liegen alle auf der gleichen Linie, und daher gibt es (wiederum das Problem auf Dimension 1 reduzierend) die meisten $d$ von ihnen. Die Hyperebene im Unendlichen hat Mächtigkeit $|\mathbb F^{m-1}|$erhalten wir die bekannte Obergrenze$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$.

Als Folge der Antwort von Per Vognsen deutet der Beweis von Dana Moshkovitz bereits auf einen wirklich einfachen Beweis für eine nur geringfügig schwächere Version des Schwartz-Zippel-Lemmas hin, der meiner Meinung nach für die meisten Anwendungen ausreicht.

Sei ein von Null verschiedenes Polynom vom Grad d , wobei F ein endliches Feld der Ordnung q ist , und sei x ∈ F n ein Punkt mit f ( x ) ≠ 0 . Es gibt ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) viele verschiedene Linien, die durch x verlaufen, so dass sie F n - { x $f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$. Die Beschränkung von auf jede dieser Linien ist ein univariates Polynom vom Grad d , das ungleich Null ist, weil es bei x ungleich Null ist und daher höchstens d Nullen hat. Somit ist die Gesamtzahl der Nullen von f ist höchstens d ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) . Zum Vergleich gibt Schwartz-Zippel die stärkere Obergrenze von d q n - 1 an .$f$$d$ $x$$d$$f$$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

Angesichts der Leichtigkeit dieses Beweises bin ich sicher, dass es Folklore ist; Wenn nicht, sollte es sein :) Ich würde mich freuen, wenn jemand eine Referenz liefern könnte.

Moshkovitz 'Beweis basiert auf einer einfachen Geometrie, aber das Papier ist nicht klar genug. Hier ist die Idee:

Ein Grad- Polynom in m Variablen schneidet eine Hyperfläche in F m aus . Der Schnittpunkt der Hyperfläche und einer unabhängigen Linie (dh der Schnittpunkt ist nicht die ganze Linie) hat höchstens d Punkte. Wenn Sie eine Richtung finden, die überall unabhängig von der Hyperfläche ist, können Sie F m durch parallele Linien in dieser Richtung blättern und Schnittpunkte innerhalb jeder Linie zählen. Die Foliation wird durch das orthogonale Komplement der Richtung parametrisiert, das eine zu F m - 1 isomorphe Hyperebene ist , so dass die Gesamtzahl der Hyperoberflächenpunkte über alle F m höchstens d | beträgt $d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$ .$d\ |F|^{m-1}$

Dies deutet darauf hin, dass andere Beweise in ähnlicher Weise funktionieren könnten.

Edit: Ich wollte ein wenig darüber sagen, wie Arnabs Beweis sich auf Moshkovitz bezieht. Er nimmt einen Punkt außerhalb der Hyperfläche und betrachtet den Linienstift durch diesen Punkt. Moshkovitz betrachtet eine Familie paralleler Linien. Es scheint anders zu sein, aber es ist wirklich dasselbe! Eine Parallelfamilie ist ein Linienstift durch einen Punkt im Unendlichen. Die Arnab-Algebra wird wörtlich angewendet, wenn Sie zuerst die Homogenisierung des Polynoms durchführen und durch Einstecken von auf die Hyperebene im Unendlichen beschränken , wodurch alle nicht führenden Terme gelöscht werden.$w = 0$

Bearbeiten: Siehe meine andere Antwort für einen neuen (aber nicht völlig unabhängigen) Beweis.

Versuch 1:

Haben Sie sich Lemma A.36 (Seite 529) von Arora / Baraks Buch angesehen ? Es ist fast eine halbe Seite und basiert auf Induktion.

Wenn Sie keinen Zugang zu dem Buch haben, kann ich den Beweis hier durchführen.

Versuch 2:

Was ist mit der kuriosen Geschichte des Schwartz-Zippel-Lemmas ? Darin wird unter anderem die Arbeit von DeMillo-Lipton aus dem Jahr 1977 zitiert . Einige andere Arbeiten werden ebenfalls benannt und verglichen.

Versuch 3:

Das folgende MathOverflow-Thema könnte ebenfalls von Interesse sein: P / Poly-Algorithmus zum Testen der polynomiellen Identität .

Das Schwartz-Zippel-Lemma ist ein Spezialfall eines Satzes von Noga Alon und Zoltan Füredi, wie in Abschnitt 4 dieses Aufsatzes gezeigt: Über Nullen eines Polynoms in einem endlichen Gitter , und daher liefert jeder neue Beweis dieses Satzes einen neuen Beweis für Schwartz -Zippel. Bis jetzt kenne ich sechs verschiedene Beweise, von denen zwei in der Zeitung erscheinen und auf andere dort verwiesen wird.

Das Alon-Furedi-Theorem sagt Folgendes:

Sei ein Feld, sei A = ∏ n i = 1 A i ⊂ F n ein endliches Gitter und sei f ∈ F [ t _ ] = F [ t 1 , ... , t n ] ein Polynom, das nicht existiert identisch verschwinden auf A . Dann f ( x , wobei das Minimum über alle positiven ganzen Zahlen y i ≤ # A i mit $F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$ für mindestens min ∏ y i Elemente x ∈ $f(x) \neq 0$$\min \prod y_i$$x \in A$$y_i \leq \# A_i$.$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

Wenn Sie in diesem Fall annehmen und das Minimum berechnen (was mit den im Artikel erwähnten Balls in Bins-Dingen leicht möglich ist), erhalten Sie Schwartz-Zippel-Lemma über ein Feld (oder eine Domain). .$\deg f < \min \#A_i$

Die ursprüngliche Formulierung der Schwartz-Zippel-Deckspelze gilt nur für Felder:

Lemma (Schwartz, Zippel).
Lassen werden , um ein Nicht-Null - Polynom gesamten Grad d ≥ 0 über ein Feld, F . Sei S eine endliche Teilmenge von F und sei r 1 , r 2 , ... , r n unabhängig und gleichmäßig aus zufällig ausgewählt$P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$. Dann wird Pr [ P ( $S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Man kann das Lemma so umformulieren, dass es für beliebige kommutative Ringe Sinn macht:

Lemma (Jeřábek).
Lassen eine Nicht-Null - Polynom gesamten Grad sein , d ≥ 0 über einen kommutativen Ring, R . Sei S eine endliche Teilmenge von R mit ∀ s , t ∈ S : ( ( ∃ u ∈ R $P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$ und sei r 1 , r 2 , … , r n unabhängig und gleichmäßig aus S zufällig ausgewählt. Dann ist Pr [ P ( r 1 , r 2 , … , r n ) = 0 ] ≤ $\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Der Vorteil des Beweises aus Wikipedia ist, dass er verallgemeinert zeigt, dass die Neuformulierung für beliebige kommutative Ringe gilt, was Emil Jeřábek hier bemerkt und ausgearbeitet hat .

Dies gibt einen alternativen Beweis für das Schwartz-Zippel-Lemma, indem die Neuformulierung für allgemeine Kommutativringe bewiesen und die normale Formulierung für Felder als Korollar erhalten wird.