Die Komplexität der Abtastung (ungefähr) der Fourier-Transformation einer Booleschen Funktion

Eine Sache, die Quantencomputer tun können (möglicherweise sogar mit nur BPP + log-tiefen Quantenschaltungen), ist die Fourier-Transformation einer Booleschen bewerteten Funktion in P zu approximieren. $\pm 1$

Hier und unten, wenn ich über das Abtasten der Fourier-Transformation spreche, meine ich die Auswahl von x gemäß . (Bei Bedarf und ungefähr normalisiert). $|\hat f(x)|^2$

Können wir die Komplexitätsklasse, die wir P-FOURIER SAMPLING nennen können, von ungefähren booleschen Abtastfunktionen von P beschreiben? Gibt es Probleme, die für diese Klasse vollständig sind?

Wenn man eine Klasse X von Booleschen Funktionen voraussetzt, was kann man über die Komplexität der Berechnung sagen, die wir als SAMPLING-X zur Approximation der Fourier-Transformation von Funktionen in X bezeichnen können? (Ich nehme an, wenn X BQP ist, dann ist X-SAMPLING noch in der Macht der Quantencomputer.)

Was sind die Beispiele für X, in denen sich SAMPLING-X in P befindet? Gibt es interessante Beispiele, bei denen SAMPLING-X NP-hart ist?

Es gibt verschiedene Varianten dieses Problems, die ebenfalls interessant sein können. Auf der Fourier-Seite können wir anstatt über eine ungefähre Stichprobe über ein Entscheidungsproblem sprechen, das (wahrscheinlich) durch eine ungefähre Stichprobe ermöglicht wird. Auf der Primärseite können wir mit einer Klasse X von Wahrscheinlichkeitsverteilungen beginnen und uns fragen, in welcher Beziehung die Fähigkeit besteht, eine Verteilung D in X ungefähr abzutasten und die (normalisierte) Fouriertransformation ungefähr abzutasten.

Kurz gesagt, was ist über diese Frage bekannt.

Update: Martin Schwarz wies darauf hin, dass, wenn alle Fourier-Koeffizienten selbst nur auf eine polynomielle Anzahl von Einträgen konzentriert sind, es in BPP möglich ist, diese großen Koeffizienten anzunähern (und damit auch anzunähern). Dies geht auf Goldreich-Levin zurück. und Kushilevitz-Mansour. Gibt es interessante Funktionsklassen, bei denen es einen probabilistischen Polynomalgorithmus zur ungefähren Abtastung der Fourier-Seite gibt, bei der die Fourier-Koeffizienten über mehr als polynomiell viele Koeffizienten verteilt sind?

Später hinzugefügt: Lassen Sie mich einige konkrete Probleme erwähnen.

1) Wie schwierig ist es, die Fourier-Transformation von Booleschen Funktionen in P näherungsweise abzutasten?

a) Eine Frage, die Scott Aaronson unten in einem Kommentar erwähnte, ist zu zeigen, dass dies nicht in BPP ist. Oder etwas Schwächeres in der Richtung, dass ein Kollaps stattfindet, wenn diese Aufgabe in BPP ausgeführt wird. (Scot vermutet, dass dies der Fall ist.)

b) Eine andere Frage ist zu zeigen, dass diese Aufgabe in Bezug auf eine quantenbasierte Komplexitätsklasse schwierig ist. Zum Beispiel, um zu zeigen, dass Sie, wenn Sie diese Aufgabe ausführen können, Entscheidungsprobleme in BPP lösen können, die von Quantencomputern mit Protokolltiefe oder Ähnlichem unterstützt werden.

2) Was sind Klassen von Booleschen Funktionen, bei denen die Fourler-Transformation ungefähr in P abgetastet wird? Wir wissen, dass dies der Fall ist, wenn die Fourier-Koeffizienten auf viele polynomielle Koeffizienten konzentriert sind, dies jedoch sehr beschränkt zu sein scheint.

3) Befindet sich in der PH eine Komplexitätsklasse X, die eine X-Maschine annähernd für die Fouriertransformation jeder Funktion abtasten kann, die eine X-Maschine berechnen kann.

4) Ich war besonders an dem Problem interessiert, die Fourier-Transformation des Kreuzungsereignisses für die Perkolation auf einem hexagonalen nx n-Gitter abzutasten.

— Gil Kalai
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Gil, falls dies für Sie von Interesse ist: Bevor Alex Arkhipov und ich mit der Arbeit an BosonSampling begannen, wollte ich "ursprünglich" beweisen, dass das ungefähre Fourier-Stichprobenproblem - dh genau das Problem, das Sie beschreiben - nicht vorliegt in BPP, sofern die Polynomhierarchie nicht zusammenbricht. Leider konnte ich das nicht beweisen oder auch nur gute Beweise dafür bekommen, was uns dazu motivierte, die Aufmerksamkeit auf Bosonen und die "robust # P-complete" -Permanente zu lenken. Ich möchte jetzt jedoch meine Vermutung wiederholen, dass eine ungefähre Fourier-Abtastung schwierig ist, vorausgesetzt, dass nur der PH-Wert unendlich ist. :-)

— Scott Aaronson

Danke, Scott, das ist sehr interessant. Ich werde Ihre Vermutung zusammen mit einigen anderen in der nächsten Ausgabe der Frage erwähnen.

— Gil Kalai

Übrigens, Scott, ist das Argument über Permanente nicht ein Beweis dafür, dass BOSONSAMPLING in BPP den Zusammenbruch der PH-Funktion auch für die Fourier-Abtastung impliziert?

— Gil Kalai

Gil: Ja, für exakte Abtastalgorithmen wird genau dasselbe Argument angeführt. Aber für ungefähre Abtastalgorithmen bin ich mir nicht sicher: Man müsste glauben, dass die ungefähre Berechnung der Fourier-Koeffizienten im Durchschnitt # P-vollständig sein sollte, genau wie Arkhipov und ich vermuteten, dass die Approximation der Permanenz einer iid-Gauß-Matrix # sein sollte. P-vollständig im Durchschnitt.

— Scott Aaronson

$\hat{f}(x)$ $O(poly(n))$ $\Omega(1/poly(n))$ $\sf{BPP}$ $\mathbb{Z}_2$

$\Omega(2^{n/2})$

— Martin Schwarz
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Danke, Martin! Ich nehme an, es ist nicht bekannt, wie schwer es ist, aus der Fouriet-Transformation auch von AC ^ 0-Funktionen abzutasten, oder? (Im Fall von Tiefe 2 behauptet eine Vermutung von Mansour, dass es sich um ein Polynom handelt (mit Randomisierung).

— Gil Kalai,