Zählen Sie die Anzahl der Bäume schnell

Sei $t(G)$ die Anzahl der aufspannenden Bäume in einem Graphen $G$ mit $n$ Eckpunkten. Es gibt einen Algorithmus, der in arithmetischen Operationen berechnet . Dieser Algorithmus ist zu berechnen , wobei die Laplace von der ist , und ist die Matrix nur aus aus ist. Weitere Informationen zu diesem Algorithmus finden Sie unter Biggs - Algebraische Graphentheorie oder in dieser Math SE- Frage. $t(G)$ $O(n^3)$ $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ $Q$ $G$ $J$ $1$

Ich frage mich, ob es eine Möglichkeit gibt, $t(G)$ schneller zu berechnen . (Ja, es gibt schneller als $O(n^3)$ Algorithmen für die Determinantenberechnung, aber ich bin an einem neuen Ansatz interessiert.)

Es ist auch daran interessiert, spezielle Familien von Graphen zu berücksichtigen (planar, vielleicht?).

Zum Beispiel kann für Umlaufgraphen $t(G)$ in $O(n \lg n)$ arithmetischen Operationen über die Identität berechnet werden $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ , wobei $\lambda_i$ Nicht-Null-Eigenwerte der Laplace-Matrix von $G$ , die für Kreisdiagramme schnell berechnet werden können. (Stellen Sie die erste Zeile als Polynom dar und berechnen Sie sie dann mit $n$ ten Wurzeln der Einheit. Dieser Schritt verwendet die diskrete Fouriertransformation und kann mit $O(n \lg n)$ arithmetischen Operationen durchgeführt werden.)

Vielen Dank!

— Finsky
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Sergey, ich habe versucht, Ihre Frage zu bearbeiten, um die Übersichtlichkeit zu verbessern. Bitte vergewissern Sie sich, dass ich Ihre Frage richtig verstanden habe und keine Fehler aufgetreten sind.

— Tyson Williams

Hier ist ein allgemeineres Beispiel Graphen Familien , in denen die Suche nach Komplexität schneller durchgeführt werden kann: Cayleygraph für abelschen Gruppen mit Generatoren gesetzt , so dass . Wir wissen, dass Eigenwerte einer solchen Matrix , wobei verschiedene Zeichen der Gruppe sind. Alle Zeichen sind leicht zu finden (weitere Informationen finden Sie in diesem Artikel ). Die Berechnung dieser Zeichen erfolgt in einer dimensionalen FFT (siehe Cormen et al., Kapitel FFT), dh in .

G

$G$

S

$S$

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$

χ

$\chi$

n

$n$

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$

— Finsky

Weitere Informationen zu Cayley-Diagrammen finden Sie in diesem Buch .

— Finsky

Lineare Algebra mit dem Laplace-Algorithmus anstatt mit einer allgemeinen Matrix zu machen, ist oft einfacher. Ich frage mich, ob das relevant sein kann.

— Gil Kalai

Können Sie, wenn möglich, einige Beispiele nennen, auch wenn diese nicht direkt mit dem behandelten Thema zusammenhängen? Vielen Dank.

— Finsky

Es ist bekannt, dass für mit begrenzter Baumbreite das Tutte - Polynom $G$ bei jeder Verwendung vonausgewertet werden kann. Wenn verbunden ist, dann ist . $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— Radu Curticapean
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