Kleine Grafik mit Lücke zwischen chromatischer und vektorieller chromatischer Zahl?

Ich suche einen kleinen Graphen $G$ dessen vektorielle Farbzahl kleiner als die Farbzahl ist, $\chi_v(G)<\chi(G)$ .

( hat Vektor chromatische Zahl Q , wenn es eine Zuweisung x : V → R d , wobei intuitiv die zugehörigen Vektoren mit den Eckpunkten benachbarten weit voneinander entfernt sind Voraussetzung ist. ⟨ X ( v ) , x ( w ) ⟩ ≤ - 1 / ( q - 1 ) Für q = 3 genügen zum Beispiel die Eckpunkte eines Dreiecks.)$G$$q$$x\colon V \rightarrow \mathbf R^d$$\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)$$q=3$

Die vektorielle Farbzahl eines Graphen ist nicht größer als die Farbzahl: $\chi_v(G)\leq \chi(G)$ . Beispiele für Graphen mit $\chi_v(G)=3$ $\chi(G)=n^\delta$ . (Das Originalpapier von Karger, Motwani, Sudan [JACM, 45: 246-265] ( Manuskript ) schlägt verallgemeinerte Kneser-Graphen vor, ein neueres Papier verwendet eine Konstruktion, die auf zufälligen Einheitsvektoren basiert.)

Ich glaube, ich habe einen Beispielgraphen $K$ mit $\chi_v(K)=4$ und $\chi(K)=8$ (basierend auf einer Computerberechnung). Dieser Graph hat 20 Eckpunkte und 90 Kanten.

Gibt es ein kleineres Beispiel? Eine verlockende Möglichkeit wäre, eine konkrete dreifarbige Darstellung des Chvatal- oder Grötzsch-Graphen zu erstellen, falls ein solches Tier existiert.

( $\chi_v$ muss keine ganze Zahl sein, aber es wäre schön. Update: Wie unten ausgeführt, ist der nichtintegrale Fall in der Tat einfach. Danke.)

Update: Grötzsch und Chvátal

Ich konnte nicht widerstehen, über eine dreifarbige Darstellung der Chvátal- und Grötzsch-Graphen nachzudenken.

Das Grötsch-Diagramm kann wie folgt dreifarbig sein: Setzen Sie den Knoten mit dem fünften Grad auf den Nordpol. Die 5-Grad-4-Knoten befinden sich gleichmäßig auf dem gleichen Breitengrad, etwa 77 Grad von Norden entfernt: Stellen Sie sich ein Pentragramm vor, das auf die nördliche Erdhalbkugel gemalt ist. Die verbleibenden 5 Knoten (Grad 3) enden auf der südlichen Hemisphäre, etwa 135 Grad von Norden entfernt. Die haben die gleiche Länge wie die 5 anderen. (Ich werde eine Zeichnung hochladen, wenn ich eine habe, aber es ist schwieriger, geodätische Linien in TikZ zu zeichnen, als ich dachte.)

Laut einem SDP-Löser lässt Chvátal auch eine Vektor-3-Färbung zu, aber die Ausgabe ist nur ein Bündel von Vektoren in 5 Dimensionen, die ich nur schwer interpretieren kann.

(Ein dritter Versuch ist fehlgeschlagen: Inspiriert von Yurys Konstruktion, nehmen Sie den 5-Zyklus und fügen Sie einen Scheitelpunkt neben allen anderen hinzu. Dieser Graph hat die chromatische Nummer 4. Aber nach meinem Löser ist er nicht vektoriell 3-farbig.)

Ich mache aus meinem Kommentar eine Antwort. Wenn wir nicht verlangen, dass eine ganze Zahl ist, ist das kleinste Beispiel G = C 5 (ein Zyklus auf 5 Eckpunkten): χ v ( C 5 ) = $\chi_v(G)$$G=C_5$

$$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5) . \qquad\text{[Lovász]}$$

Es ist nicht schwer, dieses Beispiel in ein Beispiel umzuwandeln, in dem eine ganze Zahl ist. Sei G 1 eine Vereinigung von zwei 5-Zyklen C ( 1 ) 5 und C ( 2 ) 5, in denen jeder Eckpunkt von C ( 1 ) 5 mit jedem Eckpunkt in C ( 2 ) 5 verbunden ist . Sei G 2 = K 5 . Schließlich sei G die Vereinigung von G 1 und $\chi_v(G)$$G_1$$C_5^{(1)}$$C_5^{(2)}$$C_5^{(1)}$$C_5^{(2)}$$G_2=K_5$$G$$G_1$ . Dann χ ( G $G_2$

$$\begin{align*} \chi(G) &= \max(\chi(G_1), \chi(G_2)) = \chi(G_1) = 6.\\ \chi_v(G) &= \max(\chi_v(G_1), \chi_v(G_2)) = \max(2\cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{align*}$$

Hier eine Einbettung des Grötzsch-Graphen in die Einheitskugel: Dies entspricht in offensichtlicher Weise einer Vektorfärbung; zB wird der Scheitelpunkt am Nordpol mit dem Vektor (0,0,1) eingefärbt.

Der Grötsch-Graph hat 3 Arten von Knoten. Ein Grad 5 Knoten (im Norden). Fünf Knoten 4. Grades (auf der nördlichen Hemisphäre, äquidistant zu N, können Sie drei davon erkennen). Fünf Knoten vom Grad 3 (auf der südlichen Hemisphäre, gleich weit entfernt von N, können Sie drei davon erkennen).

N ist mit seinen 5 Nachbarn auf der südlichen Hemisphäre mit grünen Rändern verbunden. (Beachten Sie, dass der grüne Rand so aussieht, als ob er auf die Eckpunkte des 4. Grades der nördlichen Hemisphäre fällt, aber das ist ein Artefakt der Einbettung.)

$C_5$

Zum Schluss noch ein Blick von oben auf den Südpol:

Wenn meine Berechnungen angenommen werden sollen, sind alle benachbarten Eckpunkte um mehr als 120 Grad voneinander entfernt, so dass dies eine gültige Vektor-3-Färbung darstellt. Der Grötzsch-Graph ist 4-chromatisch. 11 Ecken, 20 Kanten. Ich freue mich besonders über dieses Beispiel, da die Vektorfärbung dreidimensional ist, damit Sie es visualisieren können. (Zeichnen Sie zufällige Hyperebenen, um den KMS-Grafikfarbalgorithmus zu erläutern.)