Wann ist entspanntes Zählen angesagt?

Nehmen wir an, wir lösen das Problem des Zählens der richtigen Farben, indem wir die gewichteten Farben wie folgt zählen: Jede richtige Farbe wird mit 1 gewichtet, und jede falsche Farbe wird mit gewichtet, wobei c eine Konstante ist und v die Anzahl der Kanten mit identischen Endpunkten ist. Wenn c auf 0 geht, werden nur noch die richtigen Farben gezählt, was für viele Diagramme schwierig ist. Wenn c 1 ist, wird jede Färbung gleich gewichtet und das Problem ist trivial. Wenn die Adjazenzmatrix des Graphen multipliziert mit - log ( c ) / 2 einen Spektralradius unter 1 - $c^v$$c$$v$$c$$-\log(c)/2$$1-\epsilon$kann diese Summe durch Glaubensausbreitung mit Konvergenzgarantie angenähert werden, was in der Praxis einfach ist. Theoretisch ist dies auch einfach, da ein bestimmter Berechnungsbaum Korrelationszerfall aufweist und daher einen polynomiellen Zeitalgorithmus für die garantierte Approximation zulässt - Tetali, (2007)

Meine Frage ist - welche anderen Eigenschaften des Diagramms machen dieses Problem für lokale Algorithmen schwierig? Schwer in einem Sinne, dass nur ein kleiner Bereich von 's angesprochen werden kann.$c$

Edit 09/23 : Bisher bin ich auf zwei deterministische polynomielle Approximationsalgorithmen für diese Problemklasse gestoßen (Ableitungen von Weitzs STOC2006-Arbeit und von Gamarniks "Hohlraumerweiterungs" -Ansatz für die ungefähre Zählung), und beide Ansätze hängen vom Verzweigungsfaktor Vermeiden von Kurvenverläufen. Der spektrale Radius wird angezeigt, da er eine Obergrenze für diesen Verzweigungsfaktor darstellt. Die Frage ist dann - ist es eine gute Schätzung? Könnten wir eine Folge von Diagrammen haben, in denen der Verzweigungsfaktor von selbstvermeidenden Spaziergängen begrenzt ist, während der Verzweigungsfaktor von regulären Spaziergängen unbegrenzt wächst?

Edit 10/06 : Dieser Artikel von Allan Sly (FOCS 2010) scheint relevant zu sein. Das Ergebnis legt nahe, dass der Verzweigungsfaktor eines unendlichen Baums von selbstvermeidenden Spaziergängen genau den Punkt erfasst, an dem das Zählen schwierig wird.

Edit 10/31 : Alan Sokal vermutet ( S.42 von "The multivariate Tutte polynomia" ), dass es eine Obergrenze für den Radius des Null-freien Bereichs des chromatischen Polynoms gibt, die in Bezug auf den maxmax. Fluss linear ist (maximaler st-Fluss über alle Paare s, t). Dies scheint relevant zu sein, da Langzeitkorrelationen auftreten, wenn sich die Anzahl der richtigen Färbungen 0 nähert.

Dies ist bei ebenen Diagrammen schwierig, zumindest bei sechs oder mehr Farben. Siehe "Inapproximability of the Tutte polynomial of a planar graph" von Goldberg und Jerrum

Noch ein paar Kommentare:

Ein lokaler Algorithmus zum Zählen berechnet die Zählung aus einem Satz von Statistiken pro Knoten, wobei jede Statistik eine Funktion einer bestimmten Diagrammumgebung des Knotens ist. Für Färbungen beziehen sich diese Statistiken auf die "Grenzwahrscheinlichkeit des Auftretens von Farbe c". Hier ist ein Beispiel für diese Reduzierung für ein einfaches Diagramm.

Aus Alan Slys jüngstem Aufsatz geht hervor, dass das Zählen unabhängiger Mengen mit einem lokalen Algorithmus genauso schwierig ist wie das Zählen unabhängiger Mengen mit einem beliebigen Algorithmus. Mein Verdacht, dass dies für das allgemeine Zählen auf Grafiken zutrifft.

Bei lokalen Algorithmen hängt die Härte davon ab, wie sich die Korrelation zwischen Knoten in Bezug auf den Abstand zwischen Knoten verhält. Bei ausreichend großen Entfernungen weist diese Korrelation im Wesentlichen nur zwei Verhaltensweisen auf - entweder nimmt die Korrelation in der Diagrammentfernung exponentiell ab oder sie fällt überhaupt nicht ab.

Bei exponentiellem Zerfall hängen die lokalen Statistiken von einem Viertel ab, dessen Größe in Bezug auf die Größe des Diagramms polynomisch ist, sodass das Problem des Zählens einfach ist.

In statistischen Physikmodellen wurde festgestellt (dh de Gennes, Emery), dass es einen Zusammenhang zwischen selbstvermeidenden Spaziergängen, Korrelationszerfall und Phasenübergängen gibt. Der Punkt, an dem die Erzeugungsfunktion für selbstvermeidende Gitterspaziergänge unendlich wird, entspricht der Temperatur, bei der Fernkorrelationen im Modell auftreten.

Sie können an Weitz 'Baumkonstruktion für selbstvermeidende Spaziergänge erkennen, warum selbstvermeidende Spaziergänge in einem Korrelationsverfall auftauchen - der Rand kann genau als Wurzel eines Baums selbstvermeidender Spaziergänge dargestellt werden, wenn also der Verzweigungsfaktor dieses Baums ist klein genug, werden Blätter des Baumes schließlich irrelevant.

Wenn "lokale Härte" Härte impliziert, ist es ausreichend, Eigenschaften zu quantifizieren, die die Wachstumsrate von selbstvermeidenden Spaziergängen bestimmen. Die exakte Wachstumsrate kann für selbstvermeidende Spaziergänge aus der Erzeugungsfunktion extrahiert werden, ist jedoch schwer zu berechnen. Der Spektralradius ist einfach zu berechnen und gibt eine Untergrenze an.

Einige Kommentare: keine Antwort.

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Sie fragen nach strukturellen Eigenschaften der Klasse von Graphen, die es dem Problem ermöglichen würden, hart zu bleiben. Soweit ich das beurteilen kann, wird es fast immer schwierig sein. Aber das ist sehr lückenhaft und erfordert mehr Arbeit.