Begrenzte Tiefenwahrscheinlichkeitsverteilungen

Zwei verwandte Fragen zum Bounded-Depth-Computing:

1) Angenommen, Sie beginnen mit n Bits, und um mit Bit i zu beginnen, können Sie mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit p (i) unabhängig 0 oder 1 sein. (Wenn es das Problem einfacher macht, können wir annehmen, dass alle p (i) s 0,1 oder 1/2 sind.~~oder sogar, dass alle 1/2 sind.~~)

Jetzt machen Sie eine begrenzte Anzahl von Berechnungsrunden. In jeder Runde werden disjunkte Bitsätze mit reversiblen klassischen Toren versehen. (Fixieren Sie Ihr Lieblingsset an universellen klassischen Wendetoren.)

Am Ende erhalten Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Strings mit n Bits. Gibt es Ergebnisse zur Einschränkung solcher Distributionen?

Ich suche etwas analog zu Hastad Switching Lemme, Boppana Ergebnis, dass der Gesamteinfluss klein ist oder LMN-Theorem.

2) Dieselbe Frage wie 1), jedoch mit Quantenkreisen mit begrenzter Tiefe.

— Gil Kalai
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Ich kann etwas fehlen, ist aber nicht die Frage 1 mit allen

gleich zu

trivial? Sie beginnen mit einer Gleichverteilung auf

, die unter Bijektionen unveränderlich ist.

p (i)

$p(i)$

1 / 2

$1/2$

{0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n$

— Klaus Draeger

Ist das Folgende eine nützliche Transformation Ihres Problems? Transformieren Sie Ihre Eingabe (ein Vektor

) in einen

-langen Vektor, der eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über binäre Zeichenfolgen der Länge

. Nun ist jede Berechnung eine quadratische stochastische Matrix, die auf die linke Seite einwirkt, um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Ausgabeketten der Länge

zu erzeugen . WLOG wir können annehmen, dass alle Einträge binär sind. Die Frage ist nur, welche Klasse von stochastischen binären Matrizen über eine begrenzte Anzahl von Matrixmultiplikationen unserer Basismatrizen (reversible Gates) erzeugt werden kann.

p_{0}, p_{1}, \dots

$p_0,p_1,\dots$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n

$n$

— Usul

Entschuldigung, ich sollte genauer sein. Mit einer Basismatrix meine ich hier nicht ein reversibles Tor, sondern eine Reihe von parallel wirkenden reversiblen Toren, und es scheint mir nicht sofort klar zu sein, wie solche Matrizen bei einer Reihe von Toren aussehen würden.

— Usul

Beide Antworten verdienen das Kopfgeld, ich werde sehen, was ich tun kann

— Gil Kalai

Was meinst du mit "disjunkten Mengen" von Bits?

— vzn

Antworten:

Es gibt einige relativ neue Arbeiten von Emanuele Viola et al., Die sich mit der Komplexität von Stichprobenverteilungen befassen. Sie konzentrieren sich auf eingeschränkte Berechnungsmodelle wie Entscheidungsbäume mit begrenzter Tiefe oder Schaltkreise mit begrenzter Tiefe.

Leider diskutieren sie keine reversiblen Tore. Im Gegenteil, es kommt häufig zu Verlusten bei der Ausgabelänge. Dennoch können diese Papiere ein guter Ausgangspunkt sein.

Bounded-Depth-Schaltkreise können keine guten Codes abtasten

Die Komplexität von Distributionen

— MassimoLauria
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Vielen Dank, Massimo! das sieht sehr relevant aus.

— Gil Kalai

(Auch ich bin so interessiert an dem nicht umkehrbaren Fall.)

— Gil Kalai

Kurze Antwort.

Für Quantenschaltungen gibt es mindestens ein nicht einschränkendes Ergebnis: Es ist unwahrscheinlich, dass Quantenschaltungen mit beliebiger begrenzter Tiefe mit einem kleinen multiplikativen Fehler in der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses simuliert werden können, selbst für Polynome -depth klassischen Schaltungen.

Dies ist natürlich nicht sagen , was resctrictions Schaltungen tatsächlich haben; Insbesondere, wenn Sie an Entscheidungsproblemen mit begrenzten Fehlern und nicht an Wahrscheinlichkeitsverteilungen interessiert sind. Dies bedeutet jedoch, dass eine Analyse in Bezug auf Entscheidungsbäume, wie bei Håstad's Switching Lemma , für die klassische Simulation dieser Schaltungen wahrscheinlich nicht in Frage kommt. $\mathsf{QNC^0}$

Einzelheiten

Wir können die Definition von Polylog-Tiefen-Quantenschaltungen betrachten, wie sie von Fenner et al. (2005) :

Definition. ist die Klasse von Quantenschaltungsfamilien für die ein Polynom für das jedes Eingangs-Qubits enthält und höchstens frische Ancillas, die nur Single-Qubit-Gatter verwenden und nichtgesteuerte Tore und hat die Tiefe . $\mathsf{QNC^k}$ $\{C_n\}_{n\geqslant0}$ $p$ $C_n$ $n$ $p(n)$ $O(\log^k(n))$

Die Single-Qubit-Gatter müssen aus einer festen endlichen Menge stammen, obwohl dies ausreicht, um eine feste Einheit auf einer konstanten Anzahl von Qubits mit einer festen Genauigkeit zu simulieren. Wir erlauben auch, dass eine beliebige Teilmenge der Qubits am Ende der Schaltung verwendet wird, um die Ausgabe der Schaltungsfamilie darzustellen (z. B. ein einzelnes Qubit für Boolesche Funktionen).

Bremner, Jozsa und Sheppard (2010) zur Kenntnis (siehe Abschnitt 4) , dass eine Anpassung der Gate-Teleportation Technik aufgrund Terhal und DiVincenzo (2004) , post-Auswahl auf einige der Qubits in einer - Schaltung macht es möglich, Probleme in . Unter Verwendung deren Ergebnisse auf postselected Schaltungen simuliert, bedeutet dies , dass das Problem der klassischen Probennahme aus der Ausgangsverteilung eines beliebigen Schaltung mit booleschen Ausgang mit multiplikativen Fehler höchstens $\mathsf{QNC^0}$ $\mathsf{PostBQP = PP}$ $\mathsf{QNC^0}$ in der Abtastwahrscheinlichkeit ist mit zufälligen Polynomtiefenschaltungen unmöglich, es sei denn, die Polynomhierarchie kollabiert teilweise (speziell). $\sqrt 2$ $\mathsf{PH} \subseteq \Delta_3$

— Niel de Beaudrap
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Sehr geehrte Niel, sehr interessant! Vielen Dank! Mich interessieren vor allem die Distributionen. Können Sie erklären, warum "Das sagt Ihnen natürlich nicht ..."?

— Gil Kalai

Das Konstantfaktor-Inapproximabilitätsergebnis gilt über PostQNC⁰ = PostBQP = PP . Die Nachselektion wird hier verwendet, um den Erfolg einer langen Reihe von Teleportationen zu "erzwingen" und eine Quanten-Poly-Tiefenverteilung über eine Quanten-Konstant-Tiefenverteilung zu simulieren, die von einem Ereignis mit extrem niedriger, aber nicht null Wahrscheinlichkeit abhängig ist. Jeder konstante Näherungsfaktor würde für eine Polytiefenschaltung ebenso gut gelten. Dies sagt Ihnen jedoch nichts darüber aus, z. B. wie hoch die absolute (und asymptotische) Amplitude eines bestimmten Unterraums ist (oder auf diesen projiziert werden könnte).

— Niel de Beaudrap