Gründe für die eine grafische Darstellung kann nicht sein einfärbbar?

Während ein bisschen auf Argumentation dieser Frage habe ich versucht , all die verschiedenen Gründe für die eine grafische Darstellung zu identifizieren nicht sein kann einfärbbar. Dies sind die einzigen 2 Gründe, die ich bisher identifizieren konnte:$G = (V_G,E_G)$$k$

1. $G$ enthält eine Clique der Größe . Dies ist der offensichtliche Grund.$k+1$

2. Es existiert ein Subgraph von so dass beide folgenden Aussagen wahr sind:$H = (V_H, E_H)$$G$

   • $H$ ist nicht färbbar.$k-1$
   • $\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G$ . Mit anderen Worten existiert ein Knoten in aber nicht in , so dass mit jedem Knoten in .G H x $x$$G$$H$$x$$H$

Wir können die beiden oben genannten Gründe als Regeln ansehen. Wenn Sie sie rekursiv anwenden, gibt es nur zwei Möglichkeiten, ein nicht färbbares Diagramm zu erstellen, das keine Clique enthält:k + $k$$k+1$

1. Beginnen Sie mit einem Zyklus von gerader Länge (der färbbar ist) und wenden Sie dann Regel 2 für mal an. Beachten Sie, dass eine Kante nicht als Zyklus der Länge (andernfalls würde dieser Prozess die Bildung einer Clique bewirken ).k - 1 2 k + $2$$k-1$$2$$k+1$
2. Beginnen Sie mit einem Zyklus ungerader Länge (der färbbar ist) und wenden Sie dann Regel 2 für mal an. Die Länge des Startzyklus muss größer als (andernfalls würde dieser Prozess eine Clique bilden).$3$$k-2$$3$$k+1$

Frage

Gibt es einen anderen Grund als die obigen 2, der ein Diagramm nicht färbbar macht?$k$

$\ $
Update 30/11/2012

Genauer gesagt, was ich brauche, ist ein Satz der Form:

Ein Graph hat genau dann eine chromatische Zahl wenn ...$G$$\chi(G) = k + 1$

Hajós Kalkül , auf den Yuval Filmus in seiner Antwort hingewiesen hat, ist ein perfektes Beispiel für das, wonach ich suche, da ein Graph genau dann eine chromatische Zahl wenn er sich aus Axiom ableiten lässt. durch wiederholtes Anwenden der 2 Inferenzregeln des Kalküls. Die Hajószahl ist dann die minimale Anzahl von Schritten, die erforderlich sind, um abzuleiten (dh es ist die Länge des kürzesten Beweises).$G$$\chi(G) = k + 1$$K_{k+1}$$h(G)$$G$

Es ist sehr interessant, dass:

• Die Frage, ob es einen Graphen dessen in der Größe von exponentiell ist, ist noch offen.$G$$h(G)$$G$
• Wenn eine solche nicht vorhanden, dann N P = c o N P .$G$$NP = coNP$

Sie sollten den Hajós-Kalkül überprüfen . Hajós zeigte, dass jeder Graph mit einer chromatischen Zahl von mindestens einen Untergraphen hat, der einen "Grund" für die Anforderung von k Farben hat. Der fragliche Grund ist ein Proofsystem für die Anforderung von k Farben. Das einzige Axiom ist K k , und es gibt zwei Schlußregeln. Siehe auch dieses Papier von Pitassi und Urquhart über die Effizienz dieses Beweissystems.$k$$k$$k$$K_k$

Eine teilweise Antwort, in der ich keinen guten "Grund" kenne, der verallgemeinert werden kann, sondern die folgende Grafik (von hier aus schamlos geklaut ):

Ist nicht 3-färbbar, aber offensichtlich 4-färbbar (planar) und enthält weder noch einen Zyklus mit einem zusätzlichen Scheitelpunkt, der mit allen Zyklusscheitelpunkten verbunden ist (es sei denn, mir fehlt etwas, aber die einzigen Scheitelpunkte) verbunden mit einem Eckpunkt und seinem Nachbarn sind in den 3-Zyklen). Wenn Sie weiter gehen, können Sie eine Version von Regel 2 anwenden, um ein Diagramm der chromatischen Zahl 5 zu erhalten.$K_{4}$

Ich würde vermuten, dass es für eine bestimmte Gattung eine Grafik mit einer bestimmten chromatischen Mindestzahl gibt (siehe die Heawood-Vermutung ), die nicht den Regeln 1 oder 2 entspricht. Natürlich habe ich keinen anderen Beweis als die Intuition.

Lovasz fand topologische Hindernisse für die k-Färbbarkeit und verwendete seine Theorie, um Knasers Vermutung zu lösen. Sein Satz ist der folgende. Sei G ein zusammenhängender Graph und sei N (G) ein simplizialer Komplex, dessen Flächen Teilmengen von V sind, die gemeinsame Nachbarn haben. Wenn dann N (K) k-verbunden ist (dh alle seine reduzierten Homologiegruppen sind 0 bis zur Dimension k-1), dann beträgt die Anzahl der Farben, die zum Färben von G benötigt werden, mindestens k + 3.

Es kann genauso wichtig sein, keine große unabhängige Gruppe zu haben wie eine große Clique.

Ein wichtiges Hindernis dafür, dass ein Graph nicht k-färbbar ist, besteht darin, dass die maximale Größe einer unabhängigen Menge kleiner als n / k ist, wobei n die Anzahl der Eckpunkte ist. Dies ist ein sehr wichtiges Hindernis. Zum Beispiel impliziert dies, dass ein Zufallsgraph in G (n, 1/2) eine chromatische Zahl von mindestens n / log n hat.

Ein genaueres Hindernis ist, dass es für jede Zuweisung von nichtnegativen Gewichten für die Eckpunkte keine unabhängige Menge gibt, die einen Bruchteil von 1/5 (oder mehr) des Gesamtgewichts erfasst. Beachten Sie, dass dies auch die "Keine-Clique-Hindernisse" einschließt. Die LP-Dualität sagt Ihnen, dass dieses Hindernis äquivalent zu der "gebrochenen chromatischen Zahl" von G ist, die größer als k ist.

Es gibt auch Hindernisse für die k-Färbbarkeit anderer Art, die manchmal über die fraktionierte chromatische Zahlensperre hinausgehen. Ich werde ihnen eine separate Antwort geben.

Umformulieren Sie die Frage wie folgt: "Genauer gesagt, ich brauche einen Satz der Form: Ein Graph hat die chromatische Zahl χ ( G ) = k + 1 genau dann, wenn ...":$G$$\chi(G)=k+1$

$G$$\chi(G)\ge k$$G$$k-1$