Es gibt eindeutig eine Reduzierung von CLIQUE auf k-Color, da beide NP-Complete sind. Tatsächlich kann ich einen erstellen, indem ich eine Reduktion von CLIQUE auf 3-SAT mit einer Reduktion von 3-SAT auf k-Color zusammensetze. Ich frage mich, ob es eine vernünftige direkte Reduzierung zwischen diesen Problemen gibt. Sagen wir, eine Reduktion, die ich einem Freund ziemlich kurz erklären könnte, ohne eine Zwischensprache wie SAT beschreiben zu müssen.
Als Beispiel für das, wonach ich suche, ist hier eine direkte Reduktion in umgekehrter Richtung: Wenn G mit und etwas (die Anzahl der Farben) gegeben ist, mache ein Diagramm G 'mit Ecken (eine pro Farbe pro Ecke) . Die Eckpunkte , entspricht Eckpunkten und Farben sind jeweils benachbarte , wenn und nur wenn und ( oder ). Eine Klasse in hat nur ein Eckpunkt pro Vertex in , und die entsprechenden Farben sind ein geeigneter -coloring von . In ähnlicher Weise hat jede richtige Färbung von eine entsprechende Clique in .
Bearbeiten : Um eine kurze Motivation hinzuzufügen, Karps ursprüngliche 21 Probleme werden durch einen Baum von Reduktionen als NP-vollständig bewiesen, wobei CLIQUE und Chromatic Number die Wurzeln der wichtigsten Teilbäume bilden. Es gibt einige natürliche Verringerungen zwischen Problemen im CLIQUE-Unterbaum und im Chromatic Number-Unterbaum, aber viele von ihnen sind genauso schwer zu finden wie die, nach denen ich frage. Ich versuche herauszufinden, ob die Struktur dieses Baums eine zugrunde liegende Struktur in den anderen Problemen aufweist oder ob es völlig eine Folge davon ist, welche Reduktionen zuerst gefunden wurden, da es weniger Motivation gibt, nach Reduktionen zwischen zwei Problemen zu suchen, wenn sie auftreten sind bekanntermaßen in der gleichen Komplexitätsklasse. Sicherlich hatte die Reihenfolge einen gewissen Einfluss, und Teile des Baums können neu angeordnet werden, aber kann sie willkürlich neu angeordnet werden?
Bearbeiten 2 : Ich suche weiterhin nach einer direkten Reduktion, aber hier ist eine Skizze der nächsten, die ich bekommen habe (es sollte eine gültige Reduktion sein, aber CIRCUIT SAT ist ein klarer Vermittler; es ist etwas subjektiv, ob dies besser ist als zwei Kürzungen gemäß Absatz 1 zusammenzustellen).
In Anbetracht , wissen wir , dass ¯ G sein kann , n - k + 1 -colored mit k Ecken alle wahren farbigen iff G einen hat k -clique. Wir nennen die ursprünglichen Scheitelpunkte G v 1 , ... , v n und fügen Sie dann ¯ G zusätzliche Scheitelpunkte : C i j mit 1 ≤ i ≤ n , 0 ≤ j ≤ k . Die Schlüsselinvariante wird sein, dass genau dann als wahr gefärbt werden kann, wenn zwischen den Eckpunkten { v 1 , … , v i } mindestens j Eckpunkte als wahr gefärbt sind. Also kann jedes C i 0 wahr sein. Dann erhält C i j für j > 0 die Farbe C ( i - 1 ) j ∨ C ( i - 1 ) ( j - 1 ) ∧ wobei alle nicht zutreffenden Farben als falsch behandelt werden. Es gibt eine k- Klasse in G, wenn C n k mit True gefärbt werden kann. Wenn wir diese Färbung erzwingen, kann das neue Diagramm eingefärbt werden, wennim ursprünglichen Diagrammeine k- Klassevorhanden war.
Die UND- und ODER-Minianwendungen zum Erzwingen der Beziehungen ähneln weitgehend der Reduzierung von CIRCUIT SAT auf 3-COLOR. Hier fügen wir jedoch ein in unser Diagramm ein, wählen die Eckpunkte T, F und Ground aus und verbinden dann alle andere zu allem außer den v i s; dies gewährleisten , dass die C i j s und die anderen Geräte nur 3 Farben erhalten.
Wie auch immer, der Teil dieser Reduktion fühlt sich direkt an, aber die Verwendung von UND / ODER-Gattern ist viel weniger direkt. Die Frage bleibt, gibt es eine elegantere Reduktion?
Edit 3 : Es gab ein paar Kommentare darüber, warum diese Reduzierung schwer zu finden sein würde. CLIQUE und k-Color sind in der Tat ganz unterschiedliche Probleme. Auch ohne eine Reduzierung wäre eine Antwort, die genau beschreibt, warum die Reduzierung in der einen Richtung schwierig, in der anderen jedoch möglich ist, sehr hilfreich und trägt viel zum Problem bei.