Quadratsummen-Beweissystem

Kürzlich habe ich mehrere Artikel über arxiv gesehen, die sich auf ein Beweissystem beziehen, das als Quadratsumme bezeichnet wird.

Kann jemand erklären, was ein Quadratsummenbeweis ist und warum solche Beweise wichtig / interessant sind?

In welcher Beziehung stehen sie zu anderen algebraischen Beweissystemen? Sind sie für Lassere eine Art Doppelgänger?

— Anonym
quelle

Eine Übersicht finden Sie in arxiv.org/abs/1211.1958 . Das grundlegende SOS-System wird auf Seite 3 beschrieben (siehe Grigoriev und Vorobjov).

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

@Emil, es scheint, dass das Papier die Antworten auf die Fragen in der Post enthält (es erklärt das System, seine Geschichte und seine Relevanz für die jüngsten Arbeiten), warum nicht Ihren Kommentar als Antwort posten?

— Kaveh

@ EmilJeřábek Ich werde Ihren Kommentar akzeptieren, wenn Sie eine erweiterte Version als Antwort veröffentlichen.

— Anonym

OK, das habe ich getan, obwohl ich es vorgezogen hätte, wenn jemand geantwortet hätte, der diese Systeme tatsächlich versteht.

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

Antworten:

Das unter dem Namen Positivstellensatz-Widerlegungen von Grigoriev und Vorobjov eingeführte grundlegende Quadratsummen-Beweissystem ist ein „statisches“ Beweissystem, um zu zeigen, dass ein Satz von Polynomgleichungen und Ungleichungen wobei

S = {f_{1} = 0, \dots, f_{k} = 0, h_{1} \geq 0, \dots, h_{m} \geq 0},

$S=\{f_1=0,\dots,f_k=0,h_1\ge0,\dots,h_m\ge0\},$

hat keine gemeinsame Lösung in

: Eine Widerlegung von

wird durch die Polynome

und

so dass

f_{1}, \dots, f_{k}, h_{1}, \dots, h_{m} \in R [x_{1}, \dots, x_{n}]

$f_1,\dots,f_k,h_1,\dots,h_m\in\mathbb R[x_1,\dots,x_n]$

R^{n}

$\mathbb R^n$

S

$S$

g_{i}

$g_i$

e_{I, j}

$e_{I,j}$

(Anstellevon

könnte man mit jedem wirklich geschlossenen Feld arbeiten.) Stengles Positivstellensatz garantiert, dass

genau dann eine Widerlegung hat, wenn es keine Lösung gibt. Das Hauptmaßfür dieKomplexität ist hier derGradder Widerlegung, dh das Maximum der Gesamtgrade der Polynome, die unter den Summenzeichen in

, d.

und

\begin{matrix} (*) & - 1 = \sum_{i = 1}^{k} g_{i} f_{i} + \sum_{I \subseteq {1, \dots, m}} \sum_{j} e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i} . \end{matrix}

$\tag{$*$}-1=\sum_{i=1}^kg_if_i+\sum_{I\subseteq\{1,\dots,m\}}\sum_je_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i.$

R

$\mathbb R$

S

$S$

(*)

$(*)$

g_{i} f_{i}

$g_if_i$

e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i}

$e_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i$

Wie üblich bei den algebraischen Beweis Systemen kann man betrachten es auch als Widerlegung System für unerfüllbar Boolesche Formeln durch in einschließlich die Axiome für jede Variable und Übersetzung von durch Polynom Ungleichheiten. $\phi$ $S$ $x_i^2-x_i$ $x_i$ $\phi$

Weitere Informationen zur Geschichte und Entwicklung von SOS-Systemen finden Sie unter http://arxiv.org/abs/1211.1958 .

— Emil Jeřábek unterstützt Monica
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Gibt es ein Standardbuch?

Gibt es hier auch eine Verwendung der Modelltheorie?

Laserre hat kürzlich ein Buch über Optimierungsaspekte veröffentlicht. "Eine Einführung in die polynomiale und semi-algebraische Optimierung", veröffentlicht von Cambridge University Press.

— Chandra Chekuri

$p(\vec{x}) \geq 0$ $p(\vec{x})$ $\vec{x}$

Die Inferenzregeln sind:

$\over x^2-x \geq 0$
$\over x-x^2 \geq 0$
$\over p(\vec{x})^2\geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})x \geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})(1-x) \geq 0$
$p_1(\vec{x}) \geq 0, \cdots, p_m(\vec{x}) \geq 0 \over \sum_{i=1}^m c_ip_i(\vec{x}) \geq 0$ $c_1, \cdots, c_m \in \mathbb{R}^+$

$p(\vec{x})^2\geq 0$

Es gibt gute Verbindungen mit semidefiniten Programmier- und Approximationsalgorithmen.

Weitere Informationen finden Sie in Albert Atserias 'jüngstem Vortrag beim BIRS-Workshop Theoretische Grundlagen des angewandten SAT-Lösens :

Albert Atserias , Mini-Tutorial zu semi-algebraischen Beweissystemen ( Folien ), 2014

— Kaveh
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Ist diese Formulierung die gleiche wie bei Emil? Ihre ist "dynamisch" und ermöglicht daher DAG-ähnliche Beweise, wobei die von Emil "statisch" ist und daher einer baumartigen Version von Ihnen zu entsprechen scheint. Offensichtlich unterscheiden sie sich also in Bezug auf die Komplexität (z. B. Grad, Größe in Bezug auf die Anzahl der Monome und die Anzahl der Zeilen). Ist das wahr?

— Iddo Tzameret

@Iddo, ich denke du hast recht. Ein Komplexitätsmaß ist möglicherweise nicht dasselbe. Albert erklärt in seinem Vortrag sehr kurz die Entsprechung für das wichtigste interessante Komplexitätsmaß, wenn ich mich richtig erinnere, aber wenn man an anderen Maßnahmen interessiert ist, muss man vorsichtiger formulieren.

— Kaveh

@Kaveh Ich habe zwei verwandte Fragen gestellt, wenn Sie uns freundlicherweise helfen können: (1) cstheory.stackexchange.com/questions/30930/… (2) cstheory.stackexchange.com/questions/30932/…

— user6818