Ungefähre Zählprobleme beim Erfassen von BQP

In dem Black-Box-Modell ist das Problem der Bestimmung der Ausgabe einer BPP-Maschine an der Eingabe das ungefähre Zählproblem der Bestimmung von mit additivem Fehler 1/3 (sagen wir). . $M(x,r)$ $x$ $E_r M(x,r)$

Gibt es ein ähnliches Problem für BQP? Dieser Kommentar von Ken Regan deutet auf ein solches Problem hin

Sie können eine BPP-Frage auf die Annäherung an eine einzelne #P-Funktion reduzieren, aber mit BQP erhalten Sie den Unterschied zwischen zwei #P-Funktionen. Nennen Sie sie und . Die getrennte Approximation von und hilft Ihnen nicht, approximieren, wenn nahe Null ist! $f$ $g$ $f$ $g$ $f - g$ $f - g$

BQP gibt Ihnen eine kleine Hilfe: Wenn die Antwort auf die BQP-Frage für eine Eingabe Ja lautet, erhalten Sie, dass nahe an der Quadratwurzel von , wobei die Zählprädikate definieren und haben m binäre Variablen, nachdem Sie . (Es gibt keine Absolutwertbalken; „magisch“ erhalten Sie immer . Unter üblichen Darstellungen von Quantenschaltungen für BQP ist $x$ $f(x) - g(x)$ $2^m$ $f$ $g$ $x$ $f(x) > g(x)$ $m$ wird die Anzahl der Hadamard-Tore.) Wenn die Antwort nein ist, liegt die Differenz nahe bei 0.

Können Sie ein solches Problem so genau wie möglich in Bezug auf BQP formulieren? Ich hoffe auf etwas wie: Zugriff auf die Funktionen die auf abbilden , mit dem Versprechen, dass ..., auf abschätzen . $f,g$ $X$ $Y$ $f-g$ $\varepsilon$

cc.complexity-theory quantum-computing black-box

— Manu
quelle

Ich denke, Ken Regans Kommentar bezieht sich auf das Ergebnis BQP⊆AWPP von Fortnow und Rogers (JCSS 1999; people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/quantum.pdf ).

— Tsuyoshi Ito

Antworten:

Emanuele: Leider kennen wir kein Black-Box-Problem bei der Erfassung von BQP so einfach wie das, das Sie bei der Erfassung von BPP erwähnt haben.

Das liegt intuitiv daran, dass es schwierig ist, über BQP zu sprechen, ohne die Einheitlichkeit in der einen oder anderen Form zu bewirken . Die Fähigkeit, sowohl positive als auch negative Zahlen zu addieren, macht BQP leistungsfähiger als BPP, aber die Einheitlichkeit macht BQP weniger leistungsfähig als #P! :-)

Abgesehen davon haben Dawson et al. Papier , dass Martin Schwarz verknüpft, Sie sollten auf jeden Fall überprüfen dies und dies durch Janzing und Wocjan, die „ überraschend klassisch aussehenden“ versprechen Probleme , dass der Fang BQP geben.

Sei auch S S {0,1} ⁿ und betrachte eine Boolesche Funktion f: S → {0,1}. Dann habe ich eine Vermutung von vor Jahren, die besagt, dass Q (f), die Komplexität der Quantenabfrage mit beschränktem Fehler von f, polynomiell mit dem Mindestgrad eines reellen Polynoms p: R ⁿ → R zusammenhängt, so dass

(i) p (x) ∈ [0,1] für alle x∈ {0,1} ⁿ und

(ii) | p (x) -f (x) | ≤ ε für alle x∈S.

Wenn diese Vermutung zutrifft, dann wäre ein "Näherungszählproblem beim Erfassen von BQP" einfach, den Wert eines Polylog (n) -Polynoms p: R ⁿ → R an einem bestimmten Punkt auf dem Booleschen Würfel zu approximieren, vorausgesetzt p ist überall auf dem Booleschen Würfel begrenzt. Dies könnte ungefähr so nah sein, wie man eine Antwort auf Ihre Frage bekommen könnte.

— Scott Aaronson
quelle

Vielen Dank. Ich habe diese Antwort überprüft, da "Dies ist möglicherweise so nah wie möglich an einer Antwort auf Ihre Frage." Frage: Welche Rolle spielt "S" in Ihrer Vermutung? Ich bin verwirrt, wenn ich über {0,1} ^ n spreche und der Rest über S.

— Manu

Emanuele: Wenn S = {0,1} ^ n, dann ist f eine totale Boolesche Funktion. In diesem Fall ist bereits bekannt, dass die Komplexität der Quantenabfrage polynomiell mit dem ungefähren Grad (sowie mit der deterministischen und randomisierten Komplexität der Abfrage) zusammenhängt. Der interessante Fall ist also, wenn f eine partielle Boolesche Funktion ist: Das heißt, der Quantenalgorithmus muss nur an Eingaben arbeiten, die das Versprechen erfüllen, dass x zu S gehört. möglich werden.

— Scott Aaronson

Beachten Sie, dass der Quantenalgorithmus zwar nur f für Eingaben berechnen muss, die zur Menge S gehören, die Akzeptanzwahrscheinlichkeit des Algorithmus für Eingaben, die nicht in S enthalten sind, jedoch immer noch zum Intervall [0,1] gehört! So albern es klingt, das war oft eine entscheidende Beobachtung beim Nachweis von Quantenuntergrenzen mit der Polynommethode. Und wenn ich nicht verlangt hätte, dass das Polynom p in [0,1] für alle x in {0,1} ^ n (auch x nicht in S) begrenzt ist, wäre meine Vermutung trivial falsch gewesen.

— Scott Aaronson

In diesem Artikel werden die oben skizzierten Ideen im Detail erläutert.

— Martin Schwarz
quelle

Z_{2}

$Z_2$

@Emanuele Viola, @Martin Schwarz: Ich verstehe nicht wirklich, wie dieses Papier die ursprüngliche Frage beantwortet. Zum einen geht es in diesem Artikel überhaupt nicht um Black-Box-Probleme. Ich kann nicht scheinen, eine klare Formulierung eines Black-Box-Problems aus dem Papier zu bekommen, von der Art, die in der Frage gestellt wird. Vielleicht könnte einer von Ihnen etwas Licht ins Dunkel bringen?

— Robin Kothari

@ Robin Kothari: Ich stimme zu, dass das Papier, wie ursprünglich angefragt, kein Black-Box-Problem verursacht. Es wird jedoch auf den Kommentar von Ken Regan eingegangen. Ich hätte dies eher zu einem "Kommentar" als zu einer "Antwort" machen sollen.

— Martin Schwarz

Oh alles klar. Kein Problem. Ich denke also, die Frage ist dann immer noch ungelöst.

— Robin Kothari