Wie schwer ist Mafia?

Mafia ist ein beliebtes Rollenspiel auf Partys. Eine ausführliche Beschreibung finden Sie auf Wikipedia unter http://en.wikipedia.org/wiki/Mafia_%28game%29 .

Grundsätzlich funktioniert es wie folgt:

• Zu Beginn wird jedem der Spieler heimlich eine Rolle zugewiesen, die entweder mit der Mafia oder mit der Stadt in Verbindung steht. Jede Rolle kann besondere Fähigkeiten haben; dazu später mehr.$N$

• Es gibt zwei Spielphasen: Tag und Nacht. Nachts kann die Mafia heimlich miteinander kommunizieren. und sie können sich auf einen Zielspieler einigen, den sie in dieser Nacht ermorden. Am Tag kommunizieren alle (lebendigen) Spieler in einem offenen Forum. Die Spieler können sich darauf einigen, einen Spieler zu lynchen, eine absolute Mehrheit aller Spieler wird benötigt.

• Das Spiel endet, wenn nur noch die Mafia oder nur noch die Stadt übrig ist. Die überlebende Partei gewinnt.

• Nehmen wir an, es gibt drei Rollen: Bürger, Ermittler und Mafioso. Bürger haben keine Befugnisse. Mafiosi haben keine anderen Fähigkeiten, als nachts miteinander zu kommunizieren und jede Nacht für ein Mordopfer zu stimmen. Die Ermittler können jeden Abend einen anderen Spieler untersuchen, um ihre genaue Rolle herauszufinden.

• Angenommen, das Spiel beginnt am Tag und die Rolle eines Spielers wird beim Tod enthüllt

Gewinnstrategien

Angesichts einer Aufstellung von i Ermittlern, c Bürgern und m Mafiosi sagen wir, dass die Aufstellung für die Stadt gewinnt , wenn es eine Strategie für die Stadtspieler gibt, so dass sie gewinnen, egal wie die Mafia spielt.$(i,c,m)$$i$$c$$m$

Beachten Sie, dass wir davon ausgehen können, dass die Mafia mit vollständigen Informationen spielt, da wir alle Entscheidungen berücksichtigen möchten, die sie treffen kann.

Beispiel: Das Setup gewinnt für Town.$(4,1,1)$

Tag 1: Alle Town-Spieler berichten wahrheitsgemäß über ihre Rolle im offenen Chat. Der Mafia-Spieler muss behaupten, entweder Ermittler oder Bürger zu sein.

Wenn er Bürger behauptet, dann ist der Mafioso einer der beiden mutmaßlichen Bürger. Jeder Ermittler kann einen von beiden untersuchen und findet den wahren heraus. Höchstens ein Ermittler kann in der Nacht sterben, und die anderen beiden hängen einfach den Mafioso auf.

Daher muss der Mafioso Ermittler beanspruchen. Es gibt 5 mutmaßliche Invesigators. Im offenen Chat einigen sich die Ermittler auf eine Permutation, um sich gegenseitig zu überprüfen.

Nacht 1: Die Ermittler überprüfen ihre Ziele und der Mafioso tötet eines.

Tag 2: Es sind noch 3 Ermittler übrig. Alle mutmaßlichen Ermittler berichten über ihre Ergebnisse. Unabhängig davon, wer getötet wurde, wird mindestens einer von ihnen auch von einem anderen lebenden Ermittler bestätigt. Da der Mafioso behauptet, Ermittler zu sein, muss er auch sagen, ob sein zugewiesenes Ziel Mafia war oder nicht. Wenn er jemanden einrahmt, weiß die Stadt, dass entweder er oder die eingerahmte Mafia gegen die andere bestätigte Stadt ist. Wenn er niemanden einrahmt, gibt es auch 3 bestätigte Städte. In beiden Fällen gewinnt Town, wenn niemand aufgehängt wird und nur die beiden verbleibenden Verdächtigen untersucht werden.

Fragen

• Wie schwer ist es zu entscheiden, ob ein bestimmtes Setup eine Gewinnstrategie für Town zulässt? Intuitiv klingt dies nach einem -kompletten Problem. Kann sich jemand eine Ermäßigung einfallen lassen?$PSPACE$
• Können wir minimale Gewinnaufbauten finden? Wie können wir die Verhältnisse oder ( i + c ) : m minimieren ?$i:m$$(i+c):m$

Hier ist eine Referenz, die Sie sich ansehen sollten: http://www.jstor.org/stable/10.2307/25442651

Mafia: Eine theoretische Untersuchung von Spielern und Koalitionen in einer partiellen Informationsumgebung Braverman, M. und Etesami, O. und Mossel, E. Die Annalen der angewandten Wahrscheinlichkeit 2008

Zuallererst ist zu beachten, dass es immer von Vorteil ist, zu Beginn des Spiels jeden Bürger nach seiner Rolle zu fragen, wenn wir nach einer deterministischen Gewinnstrategie für Town suchen. Dies liegt daran, dass es offensichtlich kein Schaden ist, zu fragen, ob die Stadt gewinnt, egal wie die Mafiosi sich erklären. Und wenn die Mafiosi in diesem Fall etwas deklarieren und gewinnen können, dann tun sie so, als hätten sie die Deklaration gemacht und handeln dementsprechend.

Außerdem wird ein Spiel wie dieses wahrscheinlich nicht PSPACE-vollständig sein, da es keine zugrunde liegende Struktur gibt. Ich bin der festen Überzeugung, dass es nicht schwer ist, das Spiel für alle Werte von i, c, m zu analysieren. Unten mache ich das für m = 1. Nehmen wir also an, es gibt nur noch einen Mafioso, M, und das Spiel beginnt mit der Frage nach den Rollen. Jetzt behauptet M entweder, Ermittler oder Bürger zu sein. Lassen Sie uns beide Fälle überprüfen.

Fall 1: M behauptet, Ermittler

Wenn i = 0 ist, gewinnt Town, wenn c mindestens 2 ist.

Wenn i = 1, dann gewinnt Town, wenn c mindestens 4 ist. Bei kleineren Zahlen verlieren sie, weil M jeden Abend einen Bürger töten kann.

Wenn i = 2, dann gewinnt Town, wenn c mindestens 3 ist. Die 3 mutmaßlichen Ermittler können sich in kreisförmiger Reihenfolge gegenseitig fragen. M wird aufgedeckt, es sei denn, einer von ihnen stirbt. Deshalb muss er einen Ermittler töten. Dies reduziert das Spiel auf den Fall i = 1.

Wenn i = 3, dann gewinnt Town, wenn c mindestens 1 ist. Die 4 mutmaßlichen Ermittler können sich in kreisförmiger Reihenfolge gegenseitig fragen. M wird aufgedeckt, es sei denn, einer von ihnen stirbt. Deshalb muss er einen Ermittler töten. Jetzt gibt es (höchstens) zwei Möglichkeiten für M und mindestens 5 Leute, damit sie beide töten können. Wenn c = 0 ist, kann M, egal wie sie sich gegenseitig fragen, immer jemanden töten und verborgen bleiben (durch Fallanalyse), daher hat Town keinen deterministischen Gewinn.

Wenn i> = 4 ist, gewinnt Town, indem die mutmaßlichen Ermittler sich gegenseitig in kreisförmiger Reihenfolge fragen, wie im Fall i = 3.

Fall 2: M behauptet Bürger

Hier ist das Spiel viel einfacher, die Ermittler fragen in jeder Runde verschiedene Personen und M tötet jede Nacht eine von ihnen (es ist immer besser, einen Ermittler als einen Bürger zu töten). Manchmal stimmen sie auch dafür, einen Bürger zu töten (in der Tat ist dies immer in Ordnung, es sei denn, i = 2 und c = 1). Aufgrund der Verwendung von Rekursion ist es besser, auch zuzulassen, dass Bürger unschuldig sind, und ihre Anzahl mit n zu bezeichnen.

Stadt gewinnt wenn

i = 0, n> = c + 2, i = 1, n> = c + 1, i = 2, n> = c-2, und von hier können wir sehen (und auch leicht beweisen), dass für allgemeine i Stadt gewinnt genau dann, wenn n> = c + 2-i ^ 2. Da es im echten Spiel zu Beginn keine unschuldigen Bürger gibt, bedeutet dies, dass die Stadt gewinnt, wenn i ^ 2> = c + 2.

Zusammengefasst: Stadt hat keinen deterministischen Gewinn, wenn i <= 2 ist. Für i = 3 gewinnt Town für 1 <= c <= 7 (für 0 M kann er einen Ermittler und für c> = 8 einen Bürger beanspruchen). Für i> = 4 gewinnt Town für c <= i ^ 2-2.