Rechenaufwand für die Zählung induzierter Teilgraphen, die perfekte Übereinstimmungen zulassen

Was ist bei einem ungerichteten und ungewichteten Graphen und einer geraden ganzen Zahl die rechnerische Komplexität beim Zählen von Knotenmengen so dass und der auf die Scheitelmenge beschränkte Teilgraph von eine perfekte Übereinstimmung zu? Ist die Komplexität # P-vollständig? Gibt es eine Referenz für dieses Problem? $G=(V,E)$ $k$ $S\subseteq V$ $|S|=k$ $G$ $S$

Es ist zu beachten, dass das Problem für eine Konstante natürlich einfach ist, da dann alle Teilgraphen der Größe in der Zeit $k$ $k$ . Beachten Sie auch, dass sich das Problem von der Zählung der Anzahl der perfekten Übereinstimmungen unterscheidet. Der Grund ist, dass eine Menge von Scheitelpunkten, die eine perfekte Übereinstimmung zulassen, mehrere perfekte Übereinstimmungen aufweisen kann. ${|V| \choose k}$

Eine andere Möglichkeit, das Problem festzustellen, ist wie folgt. Ein Matching wird als Matching bezeichnet, wenn es mit Vertices übereinstimmt . Zwei Übereinstimmungen und sind "Vertex-Set-Non-Invariant", wenn die Mengen von Vertices, die mit und übereinstimmen, nicht identisch sind. Wir wollen die Gesamtzahl der Vertex-Set-nicht-invarianten Übereinstimmungen zählen. $k$ $k$ $M$ $M'$ $M$ $M'$ $k$

cc.complexity-theory co.combinatorics counting-complexity

— Ha
quelle

Wenn

, ist die Anzahl solcher Teilmengen

k = \log n

$k=\log n$

, und die Überprüfung, ob der von der Teilmenge induzierte Graph eine perfekte Übereinstimmung aufweist, unter Verwendung der Tutte-Charakterisierung dauert

Zeit, daher ist es unwahrscheinlich, dass er auch nur NP-vollständig ist, wenn Exponentialzeit Hypothese ist falsch. Daher ist der interessante Fall, wenn

(\binom{| V |}{\log n}) \leq n^{\log n}

$\binom{|V|}{\log n}\leq n^{\log n}$

O (2^{\log n}) = O (n)

$O(2^{\log n})=O(n)$

, in diesem Fall benötigt der naive Ansatz

Zeit, wenn Sie nach #P-Vollständigkeit suchen.

k = θ (\frac{n}{\log n})

$k=\theta(\frac{n}{\log n})$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

— Sajin Koroth

@Sajin Koroth: Ich folge nicht dem letzten Satz in deinem Kommentar. Wenn zum Beispiel k = √ n, nimmt der naive Ansatz

Zeit, und ich glaube nicht , dass dies gibt keine Beweise gegen sie # P-vollständig.

2^{n^{Ω (1)}}

$2^{n^{\Omega(1)}}$

— Tsuyoshi Ito

@ TsuyoshiIto: Ja du bist richtig. Es hätte "a

so wählen sollen, dass der naive Ansatz

k

$k$

Zeit benötigt".

O (2^{n})

$O(2^n)$

— Sajin Koroth

@Sajin Koroth: Warum sollte man einen Wert von k so wählen, dass der naive Ansatz

Zeit benötigt? Das tut wahrscheinlich nicht weh, aber ich verstehe nicht, warum man das tun sollte.

O (2^{n})

$O(2^n)$

— Tsuyoshi Ito

Es scheint, dass die meisten Probleme der Art "wie Menschen Subgraphen der Größe k haben Eigenschaft X?" sind hart. Sogar die Eigenschaft "hat eine Kante" ist hart ("hat eine Kante" löst "hat keine Kante" das ist "ist eine vollständige Grafik" im Duell ... löst MAX CLIQUE). Das gibt wirklich das Gefühl, dass "eine perfekte Übereinstimmung" auch schwierig sein wird, aber es ist im Moment schwierig, einen Beweis zu finden.

— Bejot

Antworten:

Das Problem ist # P-vollständig. Es folgt aus dem letzten Absatz von Seite 2 des folgenden Papiers:

CJ Colbourn, JS Provan und D. Vertigan, Die Komplexität der Berechnung des Tutte-Polynoms auf transversalen Matroiden, Combinatorica 15 (1995), No. 1, 1–10.

http://www.springerlink.com/content/wk55t6873054232q/

— Ha
quelle

Das Problem gibt ein FPTRAS zu. Dies ist ein randomisierter Algorithmus , der einen Graphen , einen Parameter und rationale Zahlen und als Eingaben erhält . Wenn die Anzahl von Vertexmengen ist, nach denen Sie suchen, gibt eine Zahl so dass $\mathbb{A}$ $G$ $k\in \mathbb{N}$ $\epsilon >0$ $\delta \in (0,1)$ $z$ $k$ $\mathbb{A}$ $z'$ und sie tut dies inZeit , wobei

P (z^{'} \in [(1 - ϵ) z, (1 + ϵ) z]) \geq 1 - δ,

$\begin{equation} \mathbb{P}(z' \in [(1-\epsilon)z,(1+\epsilon)z]) \geq 1-\delta, \end{equation}$

f (k) \cdot g (n, ϵ^{- 1}, \log δ^{- 1})

$f(k)\cdot g(n,\epsilon^{-1},\log \delta^{-1})$

f

$f$ eine berechenbare Funktion ist und

ein Polynom ist.

g

$g$

Dies folgt aus Thm. 3.1 in (Jerrum, Meeks 13) : Wenn eine Eigenschaft von Graphen gegeben ist, gibt es ein FPTRAS mit der gleichen Eingabe wie oben, das sich der Größe der Menge nähert vorausgesetzt, ist berechenbar, monoton und alle seine kantenminimalen Graphen haben eine begrenzte Baumbreite. Alle drei Bedingungen gelten, wenn die graphische Eigenschaft ist, eine perfekte Übereinstimmung zuzulassen. $\Phi$

{S \subseteq V (G) ∣ | S | = k \land Φ (G [S])},

$\begin{equation} \{S \subseteq V(G) \mid |S| =k \wedge \Phi(G[S])\}, \end{equation}$

Φ

$\Phi$

Φ

$\Phi$

— Radu Curticapean
quelle