Eine Frage zum # P-vollständigen Nachweis der bleibenden Karte von Ben-Dor / Halevi

In der Arbeit von Ben-Dor / Halevi [1] wird ein weiterer Beweis dafür erbracht, dass die bleibende Karte #P-vollständig ist. Im späteren Teil der Arbeit wird die Reduktionskette während der permanente Wert in der Kette erhalten bleibt. Da sich die Anzahl der zufriedenen Zuordnungen einer 3SAT-Formel aus dem permanenten Wert ergibt, reicht es aus, die permanente der endgültigen Matrix zu berechnen . So weit, ist es gut.IntPerm α NoNegPerm α 2PowersPerm α 0/1-Perm Φ 0 /$\#P$

$$\begin{equation} \text{IntPerm} \propto \text{NoNegPerm} \propto \text{2PowersPerm} \propto \text{0/1-Perm} \end{equation}$$ $\Phi$$0/1$

Es ist jedoch bekannt, dass die bleibende Zahl einer Matrix gleich der Anzahl perfekter Übereinstimmungen in der zweigeteilten Doppelhülle , dh der Graph aus der Matrix . Und diese Zahl kann effizient berechnet werden, wenn sich herausstellt, dass planar ist (unter Verwendung des Kastelyens-Algorithmus).$0/1$$\text{A}$$G$$\begin{pmatrix} 0 & \text{A} \\ \text{A}^t & 0 \end{pmatrix}$$G$

Insgesamt bedeutet dies, dass jemand die Anzahl der zufriedenen Zuweisungen einer Booleschen Formel berechnen könnte, wenn der endgültige Graph planar ist.$\Phi$$G$

Da die Einbettung von stark von der Formel abhängt , besteht die Hoffnung, dass es bestimmte Formeln gibt, die häufiger zu planaren zweigeteilten Hüllen führen. Weiß jemand, ob jemals untersucht wurde, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass planar sein wird?$G$$\Phi$$G$

Da zählen satiesfying Lösungen -komplette, werden die Graphen sicher fast immer nicht planar sein, aber ich kann keine Hinweise zu diesem Thema finden.$\#P$

[1] Amir Ben-Dor und Shai Halevi. Null-Eins-Permanent ist # p-vollständig, ein einfacherer Beweis. In 2. Israel Symposium über Theorie der Computersysteme, Seiten 108-117, 1993. Natanya, Israel.

Dieses Thema wurde in den letzten Jahren unter dem Namen Holographic Algorithms von Forschern wie Valiant, Cai, Lu, Xia, Lipton und anderen eingehend untersucht . Grundsätzlich wurden alle nachvollziehbaren Fälle von #CSP (Counting Constraint Compliance Problems) anhand von Dichotomiesätzen identifiziert (FP vs. # P-complete). Insbesondere Matchgate-Berechnungen wurden als die spezifische Klasse von Zählproblemen identifiziert, die auf planaren Graphen nachvollziehbar werden. Siehe zB diesen Link für weitere Referenzen.

$\Gamma$$\Gamma$$\Phi$

$\Gamma$$\Phi$$\Gamma$

$\Gamma$$\Phi$$\Phi$

$G$$\Phi$$G$