Ist das Korrespondenzproblem von Post bei fester Wortgröße entscheidbar?

Es ist also bekannt, dass PCP selbst dann unentscheidbar ist, wenn wir die Anzahl der Kacheln auf festlegen . $n \geq 7$

Ich frage mich, kann etwas Ähnliches gesagt werden, wenn es eine feste Wortlänge gibt?

Um genau zu sein, hier ist das Problem:

Bei festem und mit und den Wörtern und $m$ $n$ $n \geq 7$ $u_1, \ldots u_n$ $v_1 \ldots v_n$ so dass $|u_i| \leq m$ und $|v_i| \leq m$ Gibt es eine Indexsequenz? $i_1, \ldots i_k$ so dass $u_{i_1} \cdots u_{i_k} = v_{i_1} \cdots v_{i_k}$ .

Für welche Werte von $m$ Ist dies bekanntermaßen unentscheidbar?

Beachten Sie, dass dies dieser Frage ähnlich ist , aber keines der 8 verknüpften Artikel nach ihrem Titel meine Frage zu beantworten schien, und ich habe noch nicht alle 8 vollständig gelesen.

computability undecidability decision-problem

— jmite
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Es gibt einen weiteren Parameter, die Zielalphabetgröße. Dies muss unbegrenzt sein, da sonst Ihr Problem trivial entscheidbar ist.

— Yuval Filmus

Für alle $m \geq 3$ ist das Problem unentscheidbar.

Beweis durch Reduktion aus dem Wortproblem der uneingeschränkten Grammatik:

Nehmen Sie eine beliebige formale Grammatik. Wlog alle linken und rechten Seiten von Regeln haben höchstens Länge $3$ .

Dies kann festgestellt werden, indem eine beliebige Grammatik in ein äquivalentes TM übersetzt und dann zurückkonvertiert wird .
Ordnen Sie die resultierende Grammatik PCP-Instanzen zu . Keine Kachel ist länger als die längste linke oder rechte Seite einer Regel.

Das heißt, mit Schritt 1 haben alle Kacheln eine Länge $\geq 3$ .

— Raphael
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Das heißt: an die Weltlänge gebunden

m

$m$ , aber nicht an die Anzahl der Wörter gebunden

n

$n$ . Die Frage scheint nach Grenzen für beide zu suchen, aber siehe Kommentar von Yuval. (trotzdem +1)

— Hendrik

@ HendrikJan Hm, stimmt, habe das verpasst ("behoben

n

$n$ "). Ich frage mich, wie ich das anstellen soll; vielleicht über ein kleines universelles TM?

— Raphael

Ursprünglich suchte ich nach festen

m

$m$ und

n

$n$ , aber das ist trotzdem ein sehr interessantes Ergebnis!

— jmite

Eigentlich ist es jetzt, wo ich darüber nachdenke, wirklich komisch, wenn Sie es behoben haben

m

$m$ und

n

$n$ da es sich dann technisch gesehen um eine endliche, also reguläre sprache handelt. Es gibt wahrscheinlich keinen Algorithmus, der eine Beschreibung dieser Sprache (RE, DFA usw.) generieren kann, da Sie jede PCP-Instanz lösen müssten, aber es gibt eine endliche Anzahl von Instanzen mit festen

m

$m$ und

n

$n$ .

— Jmite

@jmite Wenn du gebunden hast

Σ

$\Sigma$ , Ja. (Wie Yuval bemerkte.)

— Raphael