Warum ist Relativierung eine Barriere?

Als ich den Baker-Gill-Solovay-Beweis erklärte, dass es ein Orakel gibt, mit dem wir haben können, , und ein Orakel, mit dem wir haben können, Freund wurde die Frage gestellt, warum solche Techniken nicht geeignet sind, das zu beweisen , und ich konnte keine zufriedenstellende Antwort geben.P ≤ N P P ≤ N $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

, wenn ich einen Ansatz habe, um zu beweisen, und wenn ich Orakel konstruieren könnte, um eine Situation wie die oben beschriebene zu schaffen, warum macht dies meine Methode ungültig?$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Irgendwelche Expositionen / Gedanken zu diesem Thema?

Genauer gesagt, wenn ich einen Ansatz habe, um P ≠ NP zu beweisen, und wenn ich Orakel konstruieren könnte, um eine Situation wie die oben beschriebene zu schaffen, warum macht das meine Methode ungültig?

Beachten Sie, dass das letztere „Wenn“ keine Bedingung ist, da Baker, Gill und Solovay bereits ein solches Orakel konstruiert haben. Es ist nur eine mathematische Wahrheit, dass (1) es ein Orakel gibt, in Bezug auf das P = NP, und dass (2) es ein Orakel gibt, in Bezug auf das P ≠ NP.

Dies bedeutet, dass wenn Sie einen Ansatz haben, um P ≠ NP zu beweisen, und der gleiche Beweis gleichermaßen ein stärkeres Ergebnis „P ^A ≠ NP ^A für alle Orakel A “ ergeben würde, Ihr Ansatz zum Scheitern verurteilt ist, weil er widerspricht (1).

Mit anderen Worten, es gibt einen grundsätzlichen Unterschied zwischen dem Beweis von P ≠ NP und dem Beweis von zB dem Zeithierarchiesatz, weil der Beweis des letzteren nur eine Diagonalisierung verwendet und gleichermaßen auf jede relativierte Welt anwendbar ist.

Dies bedeutet natürlich nicht, dass es keinen Beweis für P ≠ NP gibt. Ein solcher Beweis (falls vorhanden) muss das oben erwähnte stärkere Ergebnis nicht beweisen. Mit anderen Worten, ein Teil des Beweises muss die nichtrelativierende Welt von willkürlich relativierten Welten unterscheiden.

Es gibt bereits gute Antworten, aber ich möchte ein paar kleine Punkte hinzufügen.

Angenommen, wir haben eine Technik zur Lösung von Problemen, z . B. Diagonalisierung . Nehmen wir an , wir , dass die Technik zeigen wollen , nicht ein bestimmtes Problem lösen kann zB gegen N $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$ . Wie kann man das zeigen?

Bevor Sie fortfahren, beachten Sie, dass eine Technik wie die Diagonalisierung hier kein formales Konzept ist (obwohl wir es so machen können). Darüber hinaus bedeutet die Tatsache, dass die Technik das Problem nicht alleine lösen kann, nicht, dass sie bei der Lösung des Problems überhaupt nicht hilfreich ist. Möglicherweise können wir sie modifizieren und / oder mit anderen Techniken kombinieren, um das Problem zu lösen.

Kommen wir nun zu der Frage zurück. Ein Weg, um zu zeigen, dass eine Technik ein bestimmtes Problem nicht lösen kann, besteht darin, zu zeigen, dass sie, wenn sie könnte, auch in einem anderen Rahmen zur Lösung einer anderen Frage funktionieren würde, und die Antwort, die wir in diesem Fall erhalten würden, wäre falsch. Das passiert hier. Wenn die Diagonalisierung von P trennen könnte, könnte dasselbe Argument verwendet werden, um N P A von P A für alle A zu trennen . Aber wir wissen, dass es ein Orakel gibt, das falsch ist (nehmen Sie ein beliebiges P S p a c e -komplettes Problem als Orakel). Diagonalisierung kann also N nicht trennen$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP^A}$$\mathsf{P^A}$$A$$\mathsf{PSpace}$ von P .$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Der wesentliche Punkt in diesem Argument ist eine Art Übertragungsprinzip :

Wir können ein Diagonalisierungsargument für TMs ohne Orakel auf TMs mit Orakel übertragen.

Dies ist hier möglich, da Diagonalisierungsargumente auf der Simulation von Maschinen basieren und die Simulation nicht von den internen Daten der Maschinen abhängt, sondern nur von den endgültigen Antworten dieser Simulationen. Diese Art der Diagonalisierung wird als einfache Diagonalisierung bezeichnet . In einer Simulation spielt es keine Rolle, wie die Maschine funktioniert, wir kümmern uns nur um die endgültige Antwort der Maschine. Das Hinzufügen eines Orakels ändert dies nicht, sodass die Simulation und das Argument auch in dem Framework funktionieren, in dem wir Orakel haben.

$\mathsf{P}$$SAT$$SAT$

$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

$M$$M$$M$$M$diese Instanz zu sein. Dies ist die Großbildansicht, wenn Sie die Details sehen möchten, überprüfen Sie Kozens Papier.

Sommerlich:

• $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$
• $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$
• Der Grund, warum diese Übertragung von einem Orakel-freien Framework zu einem Orakel-Framework funktioniert, ist, dass die einfache Diagonalisierung auf der Black-Box-Simulation von TMs basiert und es keine Rolle spielt, wie Maschinen funktionieren, ob sie ein Orakel haben oder nicht.

Zwei gute Artikel, um mehr über die Diagonalisierung zu erfahren, sind:

• Lance Fortnows Übersichtsarbeit "Diagonalization", 2001, und
• Russell Impagliazzo, Valentine Kabanets und Antonina Kolokolovas Artikel "Ein axiomatischer Ansatz zur Algebrisierung", 2009. (Beachten Sie, dass Algebraisierung eine Erweiterung der einfachen Diagonalisierung ist .)

$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{A} \neq \mathrm{B}$$\mathrm{A} = \mathrm{B}$$\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} \neq \mathrm{B}^\mathrm{O}$$\mathrm{A}^\mathrm{O} = \mathrm{B}^\mathrm{O}$$P = NP$$P \neq NP$

Warum ist das ein Problem? Als dieser Beweis herauskam, waren die meisten Techniken und Tricks, von denen wir wussten, dass sie Komplexitätsklassen "relativiert" trennen oder kollabieren, da sie in Bezug auf jedes Orakel funktionieren. Zum Beispiel „relativieren“ sich der Zeithierarchiesatz (sowie die räumlichen und nicht deterministischen Versionen davon): Sie beweisen Trennungen für Klassen, für die diese Trennung relativiert, und tatsächlich beweisen sie das stärkere Ergebnis, das die Trennung in Bezug auf hält irgendein Orakel.

$P = NP$$P \neq NP$$P \neq NP$$\mathrm{PSPACE}$