Rendering-Gleichung - warum direkt unlösbar?

Warum ist die 1986 von Kajiya eingeführte Rendering-Gleichung nicht direkt / analytisch lösbar?

Ich bin leider nicht in der Lage, der obigen Antwort einen Kommentar hinzuzufügen (nicht genügend Ruf), also werde ich es so machen.

Ich möchte darauf hinweisen, dass das, was Dragonseel beschreibt, einfach eine Integralgleichung ist (insbesondere eine Fredholm-Gleichung der zweiten Art). Es gibt viele solcher Gleichungen, die eine analytische Lösung haben; Sogar einige Formen der Rendering-Gleichung haben eine (z. B. kann die Lösung eines weißen Ofens unter Verwendung einer einfachen konvergenten geometrischen Reihe angegeben werden, obwohl die Rendering-Gleichung unendlich rekursiv ist).

Es ist auch nicht erforderlich, die geschätzte Lösung durch Begrenzen der Anzahl der Rekursionen zu beeinflussen. Das russische Roulette bietet ein nützliches Werkzeug, um eine unvoreingenommene Lösung für eine unendlich rekursive Rendering-Gleichung zu finden.

Die Hauptschwierigkeit liegt in der Tatsache, dass die Funktionen für Reflexionsvermögen (BRDF), emittierte Strahlung und Sichtbarkeit sehr komplex sind und häufig viele Diskontinuitäten enthalten. In diesen Fällen gibt es oft keine analytische Lösung oder es ist einfach nicht möglich, eine solche Lösung zu finden. Dies gilt auch im eindimensionalen Fall; Den meisten Integralen fehlen analytische Lösungen.

Abschließend möchte ich darauf hinweisen, dass, obwohl die meisten Fälle der Rendering-Gleichung keine analytischen Lösungen haben, es viele Untersuchungen zu Formen der Rendering-Gleichung gibt, die eine analytische Lösung haben. Die Verwendung solcher Lösungen (als Näherungswerte) kann, wenn möglich, das Rauschen erheblich reduzieren und die Renderzeiten verkürzen.

Die Rendering-Gleichung lautet wie folgt:

Das Integral befindet sich nun über der Kugel um den Punkt . Sie integrieren über etwas gedämpftes Licht, das aus jeder Richtung einfällt.$x$

Aber wie viel Licht kommt herein? Dies ist das Licht , das ein anderer Punkt in der Richtung von Punkt reflektiert .x ' ω i$L(x',\omega_i)$$x'$$\omega_i$$x$

Jetzt müssen Sie berechnen, wie viel Licht dieser neue Punkt reflektiert, was das Lösen der Rendering-Gleichung für diesen Punkt erfordert. Und die Lösung für diesen Punkt hängt von einer Vielzahl anderer Punkte ab, einschließlich .$x'$$x$

Kurz gesagt, die Rendering-Gleichung ist unendlich rekursiv.

Sie können es nicht genau und analytisch lösen, da es unendliche Integrale über unendliche Integrationsdomänen hat.

Da das Licht jedoch jedes Mal schwächer wird, wenn es reflektiert wird, kann ein Mensch den Unterschied irgendwann einfach nicht mehr bemerken. Sie lösen also die Rendering-Gleichung nicht wirklich, sondern beschränken die Anzahl der Rekursionen (z. B. Reflexionen) auf etwas, das "nah genug" ist.