Kann ich eine Normalverteilung aus dem Stichprobenumfang und den Min- und Max-Werten rekonstruieren? Ich kann den Mittelpunkt verwenden, um den Mittelwert darzustellen

Ich weiß, dass dies statistisch gesehen vielleicht ein bisschen blöd ist, aber das ist mein Problem.

Ich habe viele Bereichsdaten, das heißt das Minimum, das Maximum und die Stichprobengröße einer Variablen. Für einige dieser Daten habe ich auch einen Mittelwert, aber nicht viele. Ich möchte diese Bereiche miteinander vergleichen, um die Variabilität jedes Bereichs zu quantifizieren und auch die Mittelwerte zu vergleichen. Ich habe einen guten Grund anzunehmen, dass die Verteilung um den Mittelwert symmetrisch ist und dass die Daten eine Gaußsche Verteilung haben werden. Aus diesem Grund denke ich, dass ich es rechtfertigen kann, den Mittelpunkt der Verteilung als Proxy für den Mittelwert zu verwenden, wenn er fehlt.

Was ich tun möchte, ist, eine Verteilung für jeden Bereich zu rekonstruieren und diese dann zu verwenden, um eine Standardabweichung oder einen Standardfehler für diese Verteilung bereitzustellen. Die einzige Information, die ich habe, ist das von einer Stichprobe beobachtete Maximum und Minimum und der Mittelpunkt als Proxy für den Mittelwert.

Auf diese Weise hoffe ich in der Lage zu sein, gewichtete Mittelwerte für jede Gruppe zu berechnen und auch den Variationskoeffizienten für jede Gruppe zu berechnen, basierend auf den Bereichsdaten, die ich habe, und meinen Annahmen (einer symmetrischen und normalen Verteilung).

Ich plane, R zu verwenden, um dies zu tun, so würde jede mögliche Code-Hilfe ebenso geschätzt.

Die gemeinsame kumulative Verteilungsfunktion für das Minimum $x_{(1)}$ & Maximum $x_{(n)}$ für eine Stichprobe von $n$ aus einer Gaußschen Verteilung mit mittlerem $\mu$ & Standardabweichung $\sigma$ ist

$$F(x_{(1)},x_{(n)};\mu,\sigma) = \Pr(X_{(1)}<x_{(1)}, X_{(n)}<x_{(n)})\\ =\Pr( X_{(n)}<x_{(n)}) - \Pr(X_{(1)}>x_{(1)}, X_{(n)}<x_{(n)}\\ =\Phi\left(\tfrac{x_{(n)}-\mu}{\sigma}\right)^n - \left[\Phi\left(\tfrac{x_{(n)}-\mu}{\sigma}\right) -\Phi\left(\tfrac{x_{(1)}-\mu}{\sigma}\right)\right]^n$$

wobei die Standard-Gaußsche CDF ist. Die Differenzierung in Bezug auf x ( 1 ) & x ( n ) ergibt die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion$\Phi(\cdot)$$x_{(1)}$$x_{(n)}$

$$f(x_{(1)},x_{(n)};\mu,\sigma) =\\ n(n-1)\left[\Phi\left(\tfrac{x_{(n)}-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\tfrac{x_{(1)}-\mu}{\sigma}\right)\right]^{n-2}\cdot\phi\left(\tfrac{x_{(n)}-\mu}{\sigma}\right)\cdot\phi\left(\tfrac{x_{(1)}-\mu}{\sigma}\right)\cdot\tfrac{1}{\sigma^2}$$

where $\phi(\cdot)$ is the standard Gaussian PDF. Taking the log & dropping terms that don't contain parameters gives the log-likelihood function

$$\ell(\mu,\sigma;x_{(1)},x_{(n)}) =\\ (n-2)\log\left[\Phi\left(\tfrac{x_{(n)}-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\tfrac{x_{(1)}-\mu}{\sigma}\right)\right] + \log\phi\left(\tfrac{x_{(n)}-\mu}{\sigma}\right) + \log\phi\left(\tfrac{x_{(1)}-\mu}{\sigma}\right) - 2\log\sigma$$

This doesn't look very tractable but it's easy to see that it's maximized whatever the value of $\sigma$ by setting $\mu=\hat\mu=\frac{x_{(n)}+x_{(1)}}{2}$, i.e. the midpoint—the first term is maximized when the argument of one CDF is the negative of the argument of the other; the second & third terms represent the joint likelihood of two independent normal variates.

$\hat\mu$$r=x_{(n)}-x_{(1)}$

$$\ell(\sigma;x_{(1)},x_{(n)},\hat\mu)=(n-2)\log\left[1 - 2\Phi\left(\tfrac{-r}{2\sigma}\right)\right] - \frac{r^2}{4\sigma^2} -2\log{\sigma}$$

This expression has to be maximized numerically (e.g. with optimize from R's stat package) to find $\hat\sigma$. (It turns out that $\hat\sigma=k(n)\cdot r$, where $k$ is a constant depending only on $n$—perhaps someone more mathematically adroit than I could show why.)

Estimates are no use without an accompanying measure of precision. The observed Fisher information can be evaluated numerically (e.g. with hessian from R's numDeriv package) & used to calculate approximate standard errors:

$$I(\mu)=-\left.\frac{\partial^2{\ell(\mu;\hat\sigma)}}{(\partial\mu)^2}\right|_{\mu=\hat\mu}$$ $$I(\sigma)=-\left.\frac{\partial^2{\ell(\sigma;\hat\mu)}}{(\partial\sigma)^2}\right|_{\sigma=\hat\sigma}$$

It would be interesting to compare the likelihood & the method-of-moments estimates for $\sigma$ in terms of bias (is the MLE consistent?), variance, & mean-square error. There's also the issue of estimation for those groups where the sample mean is known in addition to the minimum & maximum.

You need to relate the range to the standard deviation/variance.Let $\mu$ be the mean, $\sigma$ the standard deviation and $R=x_{(n)} - x_{(1)}$ be the range. Then for the normal distribution we have that $99.7$% of probability mass lies within 3 standard deviations from the mean. This, as a practical rule means that with very high probability,

$$\mu + 3\sigma \approx x_{(n)}$$ and

$$\mu - 3\sigma \approx x_{(1)}$$

Subtracting the second from the first we obtain

$$6\sigma \approx x_{(n)} - x_{(1)}= R$$ (this, by the way is whence the "six-sigma" quality assurance methodology in industry comes). Then you can obtain an estimate for the standard deviation by $$\hat \sigma = \frac 16 \Big(\bar x_{(n)} - \bar x_{(1)}\Big)$$ where the bar denotes averages. This is when you assume that all sub-samples come from the same distribution (you wrote about having expected ranges). If each sample is a different normal, with different mean and variance, then you can use the formula for each sample, but the uncertainty / possible inaccuracy in the estimated value of the standard deviation will be much larger.

Having a value for the mean and for the standard deviation completely characterizes the normal distribution.

It is straightforward to get the distribution function of the maximum of the normal distribution (see "P.max.norm" in code). From it (with some calculus) you can get the quantile function (see "Q.max.norm").

Using "Q.max.norm" and "Q.min.norm" you can get the median of the range that is related with N. Using the idea presented by Alecos Papadopoulos (in previous answer) you can calculate sd.

Try this:

N = 100000    # the size of the sample

# Probability function given q and N
P.max.norm <- function(q, N=1, mean=0, sd=1){
    pnorm(q,mean,sd)^N
} 
# Quantile functions given p and N
Q.max.norm <- function(p, N=1, mean=0, sd=1){
    qnorm(p^(1/N),mean,sd)
} 
Q.min.norm <- function(p, N=1, mean=0, sd=1){
    mean-(Q.max.norm(p, N=N, mean=mean, sd=sd)-mean)
} 

### lets test it (takes some time)
Q.max.norm(0.5, N=N)  # The median on the maximum
Q.min.norm(0.5, N=N)  # The median on the minimum

iter = 100
median(replicate(iter, max(rnorm(N))))
median(replicate(iter, min(rnorm(N))))
# it is quite OK

### Lets try to get estimations
true_mean = -3
true_sd = 2
N = 100000

x = rnorm(N, true_mean, true_sd)  # simulation
x.vec = range(x)                  # observations

# estimation
est_mean = mean(x.vec)
est_sd = diff(x.vec)/(Q.max.norm(0.5, N=N)-Q.min.norm(0.5, N=N))

c(true_mean, true_sd)
c(est_mean, est_sd)

# Quite good, but only for large N
# -3  2
# -3.252606  1.981593