Ob Verteilungen mit den gleichen Momenten identisch sind

Die folgenden sind ähnlich, unterscheiden sich jedoch von den vorherigen Beiträgen hier und hier

Sind bei zwei Verteilungen, die Momente aller Ordnungen zulassen, wenn alle Momente zweier Verteilungen gleich sind, dann sind sie identische Verteilungen?
Sind bei zwei Verteilungen, die momenterzeugende Funktionen zulassen, wenn sie dieselben Momente haben, ihre momenterzeugenden Funktionen dieselben?

— Tim
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In Übereinstimmung mit Frage 2 glaube ich im Allgemeinen, wenn zwei Funktionen die gleiche MGF haben (wenn sie in einer offenen Nachbarschaft von 0 existieren), dann folgen sie der gleichen Verteilung. Leider kenne ich den Beweis nicht, da er recht komplex ist. Hoffe das hilft nur ein bisschen.

— Nicefella

@nicefella Der Beweis ist relativ einfach: Die Auswertung der MGF bei imaginären Werten ergibt die charakteristische Funktion, die zur Erzeugung der Verteilung invertiert werden kann. Die Inversion funktioniert, sofern das MGF in einer Umgebung des Ursprungs analytisch ist.

— Whuber

Lassen Sie mich in umgekehrter Reihenfolge antworten:

2. ja. Wenn ihre MGFs existieren, sind sie dieselben *.

siehe hier und hier zum Beispiel

Tatsächlich folgt es aus dem Ergebnis, das Sie in dem Beitrag angeben, aus dem es stammt. Wenn die MGF die Verteilung eindeutig ** bestimmt und zwei Verteilungen MGFs und dieselbe Verteilung haben, müssen sie dieselbe MGF haben (andernfalls hätten Sie ein Gegenbeispiel zu 'MGFs, die Verteilungen eindeutig bestimmen').

* für bestimmte Werte von "gleich", aufgrund dieses Ausdrucks "fast überall"

** ' fast überall '

Nein - da Gegenbeispiele existieren.

Kendall und Stuart listen eine kontinuierliche Distributionsfamilie auf (möglicherweise ursprünglich aufgrund von Stieltjes oder jemandem dieses Jahrgangs, aber meine Erinnerung ist unklar, es sind einige Jahrzehnte vergangen), die identische Momentsequenzen aufweisen und dennoch unterschiedlich sind.

Das Buch von Romano und Siegel (Gegenbeispiele in Wahrscheinlichkeit und Statistik) listet Gegenbeispiele in den Abschnitten 3.14 und 3.15 auf (Seite 48-49). (Wenn ich sie mir anschaue, denke ich, dass beide in Kendall und Stuart waren.)

Romano, JP und Siegel, AF (1986),
Gegenbeispiele in Probability and Statistics.
Boca Raton: Chapman und Hall / CRC.

Für 3,15 schreiben sie Feller, 1971, S. 227 zu

Dieses zweite Beispiel betrifft die Dichtefamilie

f (x; α) = \frac{1}{24} \exp (- x^{1 / 4}) [1 - α \sin (x^{1 / 4})], x > 0; 0 < α < 1

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

$\alpha$

$f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

und dann zeigen, dass der zweite Teil zu jedem Moment 0 beiträgt, so dass sie alle die gleichen Momente wie der erste Teil sind.

$\alpha=0$ $\alpha=0.5$

Beispiel für gleiche Momente, unterschiedliche Dichten

Vielleicht ist es noch besser, einen viel größeren Bereich einzunehmen und eine vierte Wurzelskala auf der x-Achse zu verwenden, um die blaue Kurve gerade und die grüne Kurve wie eine Sinuskurve darüber und darunter zu bewegen:

Bildbeschreibung hier eingeben

Die Wackelbewegungen über und unter der blauen Kurve - egal ob von größerer oder kleinerer Größe - führen dazu, dass alle positiven ganzzahligen Momente unverändert bleiben.

$X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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Vielen Dank! Was bedeutet in Ihrer Antwort auf meine zweite Frage "für bestimmte Werte von" gleich "? Können Sie zu meiner ersten Frage Gegenbeispiele geben?

— Tim

Es ist einfach ein Hinweis auf die notwendige Qualifikation, die durch das "fast überall" in der vorherigen Frage verursacht wird. Gegenbeispiele könnten also Dichtefunktionen betrachten, die fast überall gleich waren, sich jedoch in einer zählbaren Teilmenge von Punkten unterschieden - ich habe Ihnen bereits ein Beispiel gegeben.

— Glen_b

Gehören für meine erste Frage (gemäß Ihrer Antwort auf meine zweite Frage und auf meine Frage in meinem vorherigen Beitrag) alle Gegenbeispiele zu dem Fall, in dem nicht beide Verteilungen momentgenerierende Funktionen zulassen?

— Tim

Dass es so sein muss, ist eine Konsequenz der Aussage "Wenn die mgf in einem offenen Intervall mit Null endlich ist, dann wird die zugehörige Verteilung durch ihre Momente charakterisiert" in Kardinals Antwort, mit der ich verbunden zu sein glaube. Wenn eine MGF in diesem Sinne nicht endlich ist, ist dies der einzige Weg, um die Verteilung nicht durch ihre Momente zu charakterisieren.

— Glen_b

Die erste Frage wurde unter stats.stackexchange.com/questions/25010/… und die letzte Frage des OP unter stats.stackexchange.com/questions/84158/… beantwortet . Fellers Beispiel wird Stieltjes (weit vor Fellers Zeit) in Stuart & Ord zugeschrieben.

— Whuber